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《清华历年数学分析高等代数试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期2003.01专业考试科目数学分析试题内容：2一、（15分）设（20分）设f(x,y)在R{(x,y)}上定义，limf(x,y)=A,且∃ρ>0使得00x→x0y→y0当0＜｜y-y0｜＜ρ时，limf(x,y)=Ф(y)存在。x→x0求证：lim[limf(x,y)]=Ay→y0,x→x02222二、（20分）设半径为r的球面∑的球心在一固定球面∑ˊ：x+y+z=a(a>0)上，问当r取何值时，球面∑含在球面∑ˊ内部的部分面积最大？x三、（20分）设f0(x)∈C[﹣a,a](a
2、>0),fn(x)=∫fn-1(t)dt,(n=1,2,…).0求证：{fn(x)}在[﹣a,a]上一致收敛于0.22四、（20分）设f(x,y）在R上二阶连续可微，f(x,2x）=x,f'x(x,2x）=x,2且f''xx(x,y)=f''yy(x,y),∀(x,y)∈R.求：f'y(x,2x）,f''yy(x,2x)及f''xy(x,2x).n2五、（25分）设f'(0）存在，f(0)=0,xn=∑f(k/n).k=1求证：limx存在，且limx＝f′(0)/2.nnn→∞n→∞六、（25分）设f(x)∈C[0,1]且在(0,1)
3、上可导，且1/2f(1)=2∫xf(x)dx.0求证：存在ξ∈（0,1)，使得f'（ξ）=-f(ξ)/ξ七、（25分）设f，g在R上连续，fοɡ(x)=ɡοf(x);∀x∈R,并且f(x)≠ɡ(x),∀x∈R.求证：fοf(x)≠ɡοɡ(x)∀x∈R清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别数学科学系考试日期2003.01专业考试科目高等代数试题内容：43一、（20分）设f（X）=(X+1)(X-1)为复方阵A的特征多项式，那么A的Jordan标准型J有几种可能？（不计Jordan块的次序）二、（20分）设方阵⎛31－1⎞⎜⎟A＝⎜－
4、6－23⎟⎜⎟⎝－2－10⎠-1A在实数域R上是否相似域对角形（即有实方阵P使PAP为对角形）？在复数域C上呢？给出证明。三、（20分）判断以下论断是否成立，证明自己的判断：对任意n阶可逆方阵A，存在方阵P,L,T使得PA=LT,其中P为对换方阵（即对换单位方阵I的某两行所得方阵）之积，L为下三角形方阵且对角线元素均为1，T为上三角形方阵。四、（20分）任给互异复数a,b和a0，a1，a2，b0，b1，b2是否存在多项式f(x)使得(i)(i)(i)f(a)=a,f(b)=b(i=0,1,2)？证明之。（其中f(a)表示f(X)的次微商
5、在a的取ii值）⎛0c0⎞⎜⎟⎜1Oc1⎟五、（20分）设方阵C＝⎜⎟，O0M⎜⎟⎜⎟1c⎝n−1⎠试求：（1）C的特征多项式f(X)；（2）C的极小多项式m(X);(3)与方阵C（乘法）可交换的方阵全体C。﹡六、（30分）1、设V是域F上n维线性空间，以V表示定义域V上的线性函数全体，试证﹡﹡明V对适当定义的运算是F上线性空间（称为对偶空间），求其维数dimV﹡*2设V1,V2为F上m,n维线性空间，σ:V1→V2为线性映射，则有线性映射σ:V1→V2，faf。σ﹡﹡（称为σ的伴随映射）。若σ对于V1,V2的某基的方阵表示为A，试在V
6、1,V2的﹡﹡适当基下求σ的方阵表示A.3、当V1＝V2＝V为欧几里得空间时，上述化为何种形式？当V1＝V2＝V为酉空间时又如何？七、（20分）设ｇ,ｈ是n维欧几里得空间V上两个对称双线性型，h非退化，由下式定义V的线性变换ϕ:g(α,β)=h(α,ϕ(β))（对任意α,β∈V)。如果ϕ由n个线性无关的特征向量，能否断定ｇ,ｈ可同时对角化（即存在V的基使ｇ,ｈ的方阵均为对角形）？反之呢？均证明之。清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期2001.1专业考试科目微分方程一、（共40分）求下列方程的通解y−x+12221．y'=
7、2.(1+x)y'=xy+xyy+x+5⎡3−11⎤2)2dx⎢⎥3.(1+xy"+(y')+1=04.=201Xdt⎢⎥⎢⎣1−12⎥⎦二、（20分）2x2∂u2∂⎡x2∂u⎤1证明方程(1−)=a(1−)（h>0,a>0为常数）的通解可以表示成2⎢⎥h∂t∂x⎣h∂x⎦F(x−at)+G(x+at)u(x,t)=其中F,G为任意的二次连续可微函数。h−x2．求方程（1）满足定解条件⎧u=ϕ(x),0≤x<∞t=0⎪⎪∂u⎨t=0=ψ(x),0≤x<∞⎪∂t⎪⎩ux=0=0,t>0三、（20分）证明边值问题⎧(p(x)y')'+q(x
8、)y+λρ(x)y=0,(0
