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《第28讲数列概念及等差数列-副本》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列概念及等差数列三．要点精讲1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，，，……，，……，简记作。（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列①的通项公式是=（7，），数列②的通项公式是=（）。说明：①表示数列，表示数列中的第项，=表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，==；③不是每个数列都有通项公式。例如，1
2、，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示
3、，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。2．等差数列（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。（2）等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。（3）等差中项的概念：第12页共12页定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中，，成等差数列。（4）等差数列的前和的求和公式：。四．典例解析题型1：数列概念例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；（2），，，；（3），
4、，，。例2．数列中，已知，（1）写出，，；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？题型2：数列的递推公式例3．（1）已知数列适合：，，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。题型3：数列的应用例4．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时，（用表示）。第12页共12页题型4：等差数列的概念例7．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）例8．（2006年江苏卷）设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），证明：为等差数列的充分必
5、要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）证明：必要性：设数列是公差为的等差数列，则：==-=0，∴（n=1,2,3,…）成立；又=6（常数）（n=1,2,3,…）∴数列为等差数列。充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,…），∵……①∴……②①－②得：=∵∴……③从而有……④④－③得：……⑤∵，，，∴由⑤得：（n=1,2,3,…），由此，不妨设（n=1,2,3,…），则（常数）故……⑥从而……⑦⑦－⑥得：，故（常数）（n=1,2,3,…），∴数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）。证法二：令An=an+1-an，由bn≤bn
6、+1知an-an+2≤an+1-an+3。从而an+1-an≥an+3-an+2,即An≥An+2（n=1,2,3,…）由cn=an+2an+1+3an+2,cn+1=4an+1+2an+2-3an+3得cn+1-cn=(an+1-an+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)，即An+2An+1+3An+2=d2.⑥由此得第12页共12页An+2+2An+3+3An+2=d2.⑦⑥-⑦得(An-An+2)+2(An+1-An+3)+3(An+2-An+4)=0⑧因为An-An+2≥0，An+1-An+3≥0，An+2-An+4≥0,所以由⑧得An-An+2=0(n=1,2,3
7、,…)。于是由⑥得4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2,⑨从而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2⑩由⑨和⑩得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1=An,即an+2-an+1=an+1-an(n=1,2,3,…)，所以数列{an}是等差数列。点评：该题考察判断等差数列的方法，我们要讲平时积累的方法巧妙应用，有些结论可以起到事半功倍的效果。题型5：等差数列通项公式例9．（2006年全国卷
