期末复习（6）——全等三角形

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1、期末复习（6）——全等三角形1.全等图形：能完全重合的两个图形叫全等图形.2.全等三角形：能完全重合的两个三角形叫全等三角形.3.全等三角形的表示：△ABC与△DEF全等,点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，可记作△ABC≌△DEF，应注意：在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上.4.全等三角形的性质：（1）全等三角形的基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.(2)引申：全等三角形的周长相等；全等三角形的面积相等；全等三角形的对应高相等；全等三角形的对应中线相等；全等三角形的对应角平分线相等.5.全等变换的三种基本方式：平移、

2、翻折、旋转.6.三角形全等的判定方法：（1）一般三角形全等的判定方法：判定方法①：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记成“边角边”或“SAS”。判定方法②：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记成“角边角”或“ASA”。判定方法③：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记成“角角边”或“AAS”。判定方法④：三边对应相等的两个三角形全等，简记成“边边边”或“SSS”。（2）直角三角形全等的判定方法：直角三角形除了可以用上述四种判定方法判定全等以外，还有一种特别的判定方法：斜边和一直角边对应相等的直角三角形全等，简记成“斜边直角边

3、”或“HL”。关于直角三角形的全等的判定，可归纳如下：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等。（SAS）②有一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等。（ASA或AAS）③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。（HL）7.构造全等三角形的两种常用方法：（1）倍长中线构造全等三角形（旋转）；（2）在角平分线两侧构造全等三角形（翻折）。8.关于尺规作图：学习了全等三角形以后，我们应掌握以下基本尺规作图：（1）作一个角等于已知角；(2)作已知角的平分线；（3）作出已知下列条件的三角形：①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL（直角三角形）.拓展：（1）经过

4、已知直线上一点作出已知直线的垂线；（2）经过已知直线外一点作出已知直线的垂线；（3）经过已知直线外一点作出已知直线的平行线。例1.下列关于两个直角三角形全等的判定方法：①有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；②有两条边分别相等的两个直角三角形全等；③有一锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等；④有一边相等的两个等腰直角三角形全等；⑤有两个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；其中正确的有填序号）．例2.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直

5、线上，这时，△ACB≌△ECD，ED=AB，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（　　）A．SASB．ASAC．SSSD．AAS例3.（2013•台湾）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（　　）A．△ACFB．△ADEC．△ABCD．△BCF答案：B.例4.已知:如图,BE和CF是ΔABC的两条高,点P在BE上，点Q在CF的延长线上，BP=CA,BA=CQ.试问:线段AP和AQ有怎样的数量关系和位置关系?请证明你的结论.解：AP=AQ，AP⊥AQ，理由如下：∵B

6、E⊥AC,CF⊥AB,∴∠AEB=∠AFC=,∴∠BAC+∠1=∠BAC+∠2=,∴∠=∠.在⊿ABP和⊿QCA中∴⊿ABP≌⊿QCA(SAS),∴AP=AQ，∠Q=∠4,∵CQ⊥AB，∴∠Q+∠3=,∴∠4+∠3=,即∠PAQ=,∴AP⊥AQ.例5.已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为.（直接写出结果，不证明）例6.（2012达州）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师

7、用直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：如图1，①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：步骤：如图2，①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON．②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．根据以上情境，解决下列问题：（1）李老师用尺规作

8、角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．（2）小聪的作法正确吗？