2012年北京市人大附中数学模拟试题

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1、人大附中2012届高考适应性练习数学试题（理科）一、已知集合A=，B＝，则＝（）A.{－1，0，1}B.{0，1}C.D.1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（）A.B.C.D.2.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（　）A.4　　B.8　C.　　　　D.3.已知向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（）A.B.C.D.4.已知数列{an}是等差数列，，，则前n项和Sn中最大的是(　　)A．S3B．S4或S5C．S5或S6D．S65.已知双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（）A.B.C.或D.或6.已知实数a，x，y满足，且z

2、=x+y有最小值，则实数a的取值范围是（）A.a≤－1B.a≥－1C.－1≤a≤2D.a≤－1或a≥27.已知函数①，②，③，判断如下四个命题的真假：命题p：是偶函数；命题q：在上是增函数；命题r：恒过定点；命题s：．则对于已知的三个函数都能成立的命题是（　　）9A．命题p、qB．命题q、rC．命题r、sD．命题s、p二、填空题1.的二项展开式中x项的系数为______．－52.已知直线l：，圆C：，则圆心C的坐标是________；若直线l与圆C有公共点，则实数k的取值范围是_______.（1，0），3.如图，已知PAB是⊙O的割线，点C是PB的中点，且PA=AC，PT是⊙O的切线，

3、TC交⊙O于点D，TC=8，CD=7，则PT的长为_________.4.如图所示程序框图运行的结果是_________.125.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30°角．轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西45°方向，灯塔在北偏东15°方向．则轮船到灯塔B之间的距离CB为__________米．6.若f(x)是定义在R上的奇函数，且对，总存在正数T，使得f(x+T)－f(x)＝T成立，则称f(x)满足“性质T”.已知函数满足“性质T”，若在[0,T]上的解析式为，则T=_______；若当x∈[－3T，3T]时，y=g(x)－kx恰

4、有9个零点，则k=______．1，15.已知函数.（Ⅰ）求函数的最大值，并写出相应的x取值集合；（Ⅱ）令，且，求的值.16.如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，△为等边三角形，平面平面，且∠=60°,，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使∥平面？并说明理由．917.如图，某工厂2011年生产的A，B，C，D四种型号的产品产量用条形图表示.现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会.（Ⅰ）问A，B，C，D型号的产品各抽取了多少件?（Ⅱ）从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率；（Ⅲ）在50件样品中，从A，

5、C两种型号的产品中随机抽取3件，其中A种型号的产品有X件.求随机变量X的分布列和数学期望.18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值点；（Ⅱ）当时，曲线在点处的切线与有且只有一个公共点，求实数的范围.19.已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点F重合.（Ⅰ）求椭圆的方程；（II）直线经过点与椭圆相交于A、B两点，与抛物线相交于C、D两点．求的最大值．20、已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”.（Ⅰ）分别判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由；（Ⅱ）求集合的“好子集”所含元素个数的最大值；（Ⅲ）设是集合的个“好子集”

6、，且两两互不包含，记集合的元素个数为，求证：9一、B1A2A3B4B5D6C7C三、15.解：（Ⅰ）因为…………………………………2分………………………4分因为,所以,的最大值为2.…………………………………………6分相应值的集合为……………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,所以……………………………10分又因为所以……………………………13分16.（Ⅰ）证明：连结EB，在△AEB中，AE=1，AB=2，∠=60°，＝1+4－2＝3.∵，∴AD⊥EB．…………………………………………2分∵△为等边三角形，为的中点，AD⊥PE．又EB∩PE=E，∴平面PEB，∴．………………………………

7、…………4分（Ⅱ）平面平面，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EB．9以点E为坐标原点，EA，EB，EP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)，D(-1,0,0)，．设平面PCD的一个法向量为，则，即，∴令z＝－1，则x＝，y＝1，故．平面PAD的一个法向量为，∴．又二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．（Ⅲ）假设棱PB上存在点F，使∥