金星 潘朝辉 2014年中考几何证明题探析

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1、2014年中考几何证明题探析冷水江市金星学校潘朝辉初中《数学课程标准》对几何部分的要求是能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合，能够对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性．从内容来看，初中几何涉及到的知识点有将近100个，这么多的知识点，复习时怎样抓住重点是关键．从近几年我市中考试题来看，我市几何证明题整体变化不大，问题设置基本上都分为两问，且大多是将有关三角形知识与四边形知识综合考查．（一）近几年娄底中考几何证明题考点分析日期题号与分值考点2008年22题，8

2、分平行四边形的性质、三角形全等判定2009年21题，8分等腰三角形的性质、三角形全等的判定以及菱形的判定2010年23题，7分三角形全等的判定、性质以及等腰三角形的判定2011年23题，9分旋转变化的性质、平行四边形的判定2012年23题，9分矩形的性质、判定、三角形全等、菱形的判定2013年23题，9分平行四边形、菱形、全等三角形的判定、图形的旋转以上统计表明两层含义：1、我市近几年来几何证明题的重点是三角形与四边形的有关性质与判定．这些知识点的定理定义多，须在掌握概念的基础上才有判断，进而形成推理证明．2、近几年几何证明题分值总体是增加的趋势，接近了最后两个综合题的分值．值得注意的是，20

3、13年是在实际生活背景下的几何证明题，突出了图形的旋转的运用，更强调了几何知识的学习与实际生活的联系．下面我列举了2011年以来娄底市及有关省市的中考几何证明题，目的是借鉴其他地方的试题，共同与大家探析如何将四边形的相关知识与三角形中的知识点结合起来．(二)2013年中考典型例题例1.（2011娄底，23，9分）如图10，在直角三角形ABC中，ÐACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.（1）线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是．（2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．分析：本题考查旋转变化的性质以及平行四边形的判定．解：（1

4、）A1C1=10，∠CBA1=135°（2）证明：∵∠A1C1B=∠C1BC=90°，∴A1C1∥BC.又∵A1C1=AC=BC，∴四边形CBA1C1是平行四边形.点评：此题主要考查了旋转的性质，也考查了平行四边形的判定，解题的关键是利用旋转的性质得到相等的相等和相等的角，然后利用等腰直角三角形的性质加减问题．例2.（2012娄底，23，9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．分析：利用矩形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．6

5、证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，在△MAB≌△NDC，∵，∴△MAB≌△NDC；（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB．∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∴MP=BM，∴MP=MQ，∴四边形MQNP是菱形．解

6、法二：连接AN，MN∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠ADC=∠ABC=90°∵△MAB≌△NDC∴MB=DN，∠ABM=∠NDC∵P、Q分别是MB、ND的中点∴MP=NQ∵∠AMB=90°-∠ABM=90°-∠NDC=∠ADN∴MB∥ND∴四边形MQNP是平行四边形∵M、N分别是AD、BC的中点∴AM=BN∵MA∥NB、∠A=90°∴四边形AMNB是矩形∴∠MNB=90°∵P是MB的中点∴PN=MB=MP∴四边形MQNP是菱形点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，属于基础题目．但解题方法比较

7、灵活，要求学生对相关性质及判定方法的能熟练运用．6例3．（2013娄底23，9分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形AB