计数模块(教师版)

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1、教师：学生：上课时间：2013年月日:00-:00上课地点：红荔上步校区上课进度：第×讲课题：计数模块综合复习计数模块综合复习知识框架计数综合加法原理加法分类，类类相加乘法原理乘法分步，步步相乘排列有序排列组合无序组合容斥原理解决包含排除时，韦恩图是好帮手几何计数枚举、标数、树形图、插板、对应、分类计数、容斥原理等，只要方便随你用概率组合排列要想全，发生与否看清晰一、排列和组合排列数组合数．二、容斥原理三、几何计数n条直线最多将平面分成个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平

2、面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分×××的奥数解决方案六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版Page24of24成4n(n-1)+2部分……数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一

3、个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲【例1】袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能．（2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动）【解析】按最少的红球来分类：3红时，黄白3，黄可取0，1，2，3共4种．2红时，黄白4，黄可取0，

4、1，2，3，4共5种．1红时，黄白5，黄可取0，1，2，3，4共5种．0红时，黄白6，黄可取0，1，2，3共4种．共有：4+5+5+4=18（种）．【巩固】一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？【解析】按5分硬币的个数对硬币情况进行分类：如果5分硬币有奇数个，那么无论2分硬币有多少个都不能凑成100分．如表当5分硬币的个数为0～20的偶数时，都有对应个数的2分硬币．所以一共有11种不同的情况．类别12345678910115分024681012141618202分

5、50454035302520151050【例2】如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？×××的奥数解决方案六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版Page24of24【解析】沿着“北京欢迎你”的顺序沿水平或竖直方向走，北以后的每一个字都只能选择上面的或左右两边的字，按加法原理，用标号法可得右上图．所以一共有种走法．【巩固】如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，

6、这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法．我们学习好们学习好玩学习好玩的习好玩的数好玩的数学【解析】第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：(在格子里标数)共70种不同的读法．【例2】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【解析】登1级          2级      3级    4级   ......     10级1种方法      2种      3种    5种   .

7、.....        ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A0，那么登了1级的位置是在A1，2级在A2...A10级就在A10．到A3的前一步有两个位置；分别是A2和A1．在这里要强调一点，那么A2到A3 既然是一步到了，那么A2、A3之间就是一种选择了；同理A1到A3也是一种选择了．同时我们假设到n级的选择数就是An．那么从A0到A3就可以分成两类了

8、：第一类：A0----A1------A3，那么就可以分成两步．有A1×1种，也就是A1 种；(A1------A3是一种选择)第二类：A0----A2------A3，同样道理有A2 ．类类相加原理：A3=A1＋A2，依次类推An=An-1+An-2．【巩固】1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法．【解析】如果用的长方形盖的长方形，设种数为,则，,对于×××的奥数解决方案六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习