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1、组合数学答案4.1证明所有的循环群是ABEL群证明：4.2若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C=｛e,x,x2,…,xm-1｝证：x是G的元素，G满足封闭性所以，xk是G中的元素C∈G再证C是群：1、xi,xj∈C,xi·xj=xi+j若i+j<=m-1,则xi+j∈C若i+j>m,那么xi+j=xm+k=xm·xk=xk∈C所以C满足封闭性。2、存在单位元e.3、显然满足结合性。4、存在逆元，设xa·xb=e=xmxb=xm-axa∈C,(xa)-1=xb=
2、xm-a4.3设G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n.证明：设G是阶为n的有限群，a是G中的任意元素，a的阶素为k，则此题要证首先考察下列n+1个元素由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G,，而G中仅有n个元素，所以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为（）由群的性质3可知，是单位元，即=e，又由元素的阶数的定义可知，当为k阶元素时=e，且k是满足上诉等式的最小正整数，由此可证组合数学答案4.4若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可表示a的
3、幂：a,a2……..an解：设n=p1a1…….pkak，共n个素数的乘积，所以群G中每个元素都以用这k个素数来表示，而这些素数，根据欧拉定理，一共有Φ(n)=n(1-1/p1)………(1-1/pk)所以群G中母元素的数目为n(1-1/p1)………(1-1/pk)个.4.5证明循环群的子群也是循环群证明：设H是G=的子群，若H=,显然H是循环群，否则取H中最小的正方幂元，下面证明是H的生成元,易见H，只要证明H中的任何元素都可以表成的整数次方，由除法可知存在q和r,使得l=qm+r,其中0r
4、m-1,因此有=，因为是H中最小的正方幂元，必有r=0,这就证明出=证明完毕。4.6若H是G的子群，x和y是G的元素，试证或为空，或4.7若H是G的子群,
5、H
6、=k,试证：
7、xH
8、=k其中xG.证明：∵H是G的子群，xG∴
9、xH
10、≤k如果
11、xH
12、13、H
14、15、H
16、=k∴
17、xH
18、=k.4.8有限群G的阶为n，H是G的子群，则H的阶必除尽G的阶。答案：已知
19、G
20、=n,
21、H
22、<=
23、G
24、设G={}，H={}因为H是G
25、的子群，所以在H中的一个一定在G中对应一个使得，所以有，则rm一定是m的倍数，所以则H的阶必除尽G的阶。4．9G是有限群，x是G的元素，则x的阶必除尽G的阶。组合数学答案解：证：设
26、G
27、=g,则中必有相同元。设,，则，。对于给定的x，存在最小的正整数r，使得。于是是G的子群，若，则，显然，，。若，则，否则，。于是，，。证毕。4.10若x和y在群G作用下属于同一等价类，则x所属的等价类Ex，y所属的等价类Ey有
28、Ex
29、=
30、Ey
31、解：因为x和y在群G作用下属于同一等价类，所以x和y在群G作用下存在置换P1使
32、x和y互相转变，即Ex=Ey={x,y}所以
33、Ex
34、=
35、Ey
36、。4．11有一个3х3的正方形棋盘,若用红,蓝色对这9个格进行染色,要求两个格着红色,其余染蓝色,问有多少种着色方案?解:对于一个3×3的正方形棋盘,要求两个格着红色,其余染蓝色,如下图所示.组合数学答案置换群:格式:(1)9,1个.(1)3(2)3,4个.(1)(4)2,2个.(1)(2)4,1个p(x)=1/8×[(1+x)9+4(1+x)(1+x2)3+2(1+x)(1+x4)2+(1+x)(1+x2)4]x2的系数为1/8×[C(9,
37、2)+4(C(3,2)+C(3,1))+C(4,1)]=(36+24+4)/8=8其中划横线为红色,其它为蓝色.共8种着色方案.4.12：试用Burnside引理解决n个人围一圆桌坐下的方案问题。解：………………………………………………………………组合数学答案如图：N个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共N!个。旋转360/i，i={n,n-1,n-2,……1}；得到n种置换当且仅当i=1的置换（即顺时针旋转360/1度：P1=(c1)(c2)……(cn!);）时有1阶循环存在（因为只要圆桌转动，所
38、有圆排列中元素的绝对位置都发生了变化，所以不可能有1阶循环存在）。不同的等价类个数就是不同的圆排列个数，根据Burnside引理，L=c1a1+c2a2+c3a3……cn!an!GL=n!n=n-1!所以一共有(n-1)!种排列。4.13对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案，旋转使之重合作为相同处理解：首先对每个顶点进行编号，分别为1，2，3，4，5，6，根据旋转的角度不同，共可以旋转6次，得到不同的旋转方式旋转0
