组合数学作业答案

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1、第二章作业答案7.证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。证明用100分别除这52个整数，得到的余数必为0,1,…,99这100个数之一。将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。这样，将这52个整数分成了51组。由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a和b。若a和b被100除余数相同，则能被100整除。若a和b被100除余数之和是100，则能被100整除。11.一个学生有37天用来准备考试。根

2、据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。证明设从第一天到第i天她共学习了小时。因为她每天至少学习1小时，所以和都是严格单调递增序列。因为总的学习时间不超过60小时，所以，。,是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相同的整数，有和使得，，从第天到第i天她恰好学习了13小时。14.一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。如果我每分钟从袋子里取出一个

3、水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？解由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。因此，需要45分钟。17.证明：在一群个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。证明因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从0到的整数。若有两个人的熟人的数目分别是0和，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。因此，这n个人的熟人的数目是个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。第三章作业答案6.有多少使下列性质同时成

4、立的大于5400的整数？(a)各位数字互异。(b)数字2和7不出现。解因为只能出现数字0,1,3,4,5,6,8,9，所以整数的位数至多为8。①考虑8位整数。最高位不能为0，因此8位整数有个。②考虑7位整数。最高位不能为0，因此8位整数有个。③考虑6位整数。最高位不能为0，因此8位整数有个。④考虑5位整数。最高位不能为0，因此8位整数有个。⑤考虑4位整数。若千位数字大于5，有个。若千位数字等于5，则百位数字必须大于等于4，有个。根据加法原理，符合条件的整数的个数为8.15人围坐一个圆桌。如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒

5、绝坐在A的右侧，又有多少种围坐方式？解15人围坐一个圆桌，有种围坐方式。若B固定坐在A的左侧，则可将看作一个整体，有种围坐方式。若B固定坐在A的右侧，则可将看作一个整体，有种围坐方式。因此，B不挨着A坐的围坐方式有种，B不坐在A的右侧的围坐方式有种。11.从15个球员的集合中选人组成11个球员的足球队，其中5人只能踢后卫，8人只能踢边卫，2人既能踢后卫又能踢边卫。假设足球队有7个人踢边卫4个人踢后卫，确定足球队可能的组队方法数。解设甲和乙既能踢后卫又能踢边卫。若甲和乙均不入选，组队方法数为。若甲和乙均入选，组队方法数为++。若甲入选且

6、乙不入选，组队方法数为+。若乙入选且甲不入选，组队方法数也为+。因此，组队方法数总共为++++=112021.一位秘书在距离家以东9个街区、以北7个街区的一座大楼里工作。每天他都要步行16个街区去上班。(a)对他来说可能有多少不同的路线？(b)如果在他家以东4个街区、以北3个街区开始向东方向的街区在水下（而他又不会游泳），则有多少条不同的路线？解(a)用E表示向东步行1个街区，用N表示向北步行1个街区。因为该秘书需要向东步行9个街区，向北步行7个街区，总共步行16个街区，因此他的上班路线是多重集的排列。这样的排列的个数为11440。(

7、b)若他从水下的街区走过，则他先要走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方，再向东走一个街区，最后走到工作的大楼。他从家走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方的路线的数目是多重集的排列数，即35。他从离家以东5个街区、以北3个街区的地方走到工作的大楼的路线的数目是多重集的排列数，即70。所以，如果他从水下的街区走过，则他可能有的路线数是。因此，如果他不从水下的街区走过，则他可能有的路线数是。26.确定多重集的10-排列的个数。解S的有1个a，4个b，5个c的10-排列的个数为。S的有3个a，2个b，5个c的10-排列的个数为。S的有

8、3个a，4个b，3个c的10-排列的个数为。S的有2个a，3个b，5个c的10-排列的个数为。S的有2个a，4个b，4个c的10-排列的个数为。S的有3个a3个b4个c的10-排列的个数为。S的10-排列的个数为。31.