组合数学作业4

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1、SY0721129刘佳第5章二项式系数5.8练习题18513896、在3(x2y)的展开式中，xy的系数是什么？xy的系数是什么？（后一排并非排印的错误）51318513解：xy的系数是3()2；589xy的系数是0。□nnkk9、计算和()110的值。k0knknknnknknn解：当为奇数时，n(=)110()110=(110)=9；k0kk0knknknnknknn当为偶数时，n(=)1

2、10()110=(110)=9。k0kk0knnkknn综上所述()110的值是()19。k0k□16、通过积分二项式的表达式，证明对正整数n有nnnn11112112132n1nn1nnnn2n3nn解：由二项式定理，(1x)xxxx0123n两边同时对x积分11(x)n112n

3、11n左边1(x)dx==0n10n11nnn2n3nn右边(xxxx)dx00123nnnx2nx3nn11x=(x)01223nn10—第1页—SY0721129刘佳1n1n1n=12132n1nnnnn111121左右两边应相等，有1

4、2132n1nn1□20、求整数a、b和c，使得对所有的m3mmmmabc3213333然后求级数123n的和。mmmm(m1)(m)2m(m)1解：∵abc=abcm321623a2abab∴m的系数为，m的系数为，m的系数为c62232比较系数，可得a=6，b=6，c=1。3333nmmm123n=)6(

5、6m0321nmnmnm=6+6+m03m02m01n1n1n1=6+6+432(6n)1n(n1)(n)2(6n)1n(n)1(n)1n=++!4!3!222n(n)1=4□25、应用组合学论证方法，证明二项式系数的Vandermonde卷积：对所有的正整数m，m和n，12nm1m2m1m2k0k

6、nkn—第2页—SY0721129刘佳2nn2n作为特殊情形，推导恒等式(n)0k0kn解：考虑这样一种情形：有m个各不相同的黑球，m个各不相同的白球，现从中拿出个球，共有多少种不同n12的拿法？方法一：取出的个球中，有个是黑球、nknk个是白球，k=0，1…，n。nm1m2则方法总数为。k0knkm1m2方法二：直接得出方法总数。nnm1m2m1m2由于两种方法得出的结果应该是相等的，

7、所以有。k0knknnnn2n作为特殊情形，当m1m2n时，有k0knkn2nnnn2n又因为，所以(n)0nkkk0kn□933241、在(xx2x2x)的展开式中xxxx的系数是什么？12341234932!98解：()12()2==!82,1,3,3!2!1!3!3332xxxx的系数是

8、!8。1234□—第3页—