【教学设计】《曲边梯形的面积》（人教A版）

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1、《曲边梯形的面积》◆教材分析定积分是一节重要的基础理论课。通过本节课的学习，使学生获得够用的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法，为学习后续课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。本节内容是介绍曲边梯形面积，以此为引例，为讲定积分定义做准备。◆教学目标【知识与能力目标】理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。【过程与方法目标】1.通过逐步形成知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。【情感态度价值观目标】培养学生层层深入、

2、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系。培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度。◆教学重难点◆【教学重点】掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）。【教学难点】对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲”的思想的理解。◆课前准备◆多媒体课件。◆教学过程（一）、情景引入，激发兴趣。【教师引入】我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。(二)、探究新知，揭示概念定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本

3、节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数。（不加说明，下面研究的都是连续函数）。（三）、分析归纳，抽象概括问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。如何计算这个曲边梯形的面积？（四）、知识应用，深化理解例1．例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为

4、求“直边图形”面积的问题？xxx1x1xy1xyy分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段。“以直代曲”的思想的应用。把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值。分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。解：（1）．分割在区间上

5、等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，记第个区间为，其长度为分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，，…，显然，（2）近似代替记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）。这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积为====从而得到的近似值（4）取极限分别将区间等分8，16，20，…等份（如图

6、），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有从数值上的变化趋势：3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割。在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值。第三步：求和。第四步：取极限。说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值例2．求围成图形面积解：1．分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，记第个区间为，其长度为分别过上述个分点作轴的垂线

7、，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，，…，显然，（2）近似代替∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积为====从而得到的近似值（4）取极限练习设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。（五）、归纳小结1．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割。在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面

8、积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值。第三步：求和。第四步：取极限。2．求曲边梯形的思