随机变量的方差和标准差

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1、第二节、随机变量的方差和标准差一、随机变量的方差和标准差的概念和性质1、方差和标准差的定义X-EX表示随机变量X对数学期望EX的离差;为避免离差符号的影响,人们常使用X对数学期望EX的平方离差它显然也是随机变量;称的数学期望为随机变量X的方差,称为随机变量X的标准差.2、方差的性质(1)DX≥0,并且DX=0当且仅当X(以概率1)为常数;(2)对于任意实数λ,有;(3)若随机变量X1,X2,…Xm两两独立,则(4)对于任意常数C,有例4.9设随机变量X的概率密度为(1)求随机变量Y=1/X的数学期望EY;(2)求随机变量X的数学期望EX和方差DX.解(

2、1)随机变量Y=1/X的数学期望:(2)随机变量X的数学期望:例4.10设随机变量X和Y相互独立,证明,若DX,DY存在,则DXY≥DXDY.证明事实上,有其中二、切贝绍夫不等式设随机变量X的数学期望和方差都存在,则对于任意ε>0,事件{

3、X-EX

4、≥ε}的概率有如下估计式——切贝绍夫不等式:证明(1)设X是非负离散型随机变量,其一切可能值为{Xi},则对于任意ε>0,有其中前两个和式∑表示对于满足

5、xi-EX

6、≥ε的X的一切可能值xi求和,后一个和式∑表示对于X的一切可能值xi求和.(2)设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),则例4.11设随机

7、变量X的数学期望为μ,方差为,则由切贝绍夫不等式,有然而,假如则利用附表1,可得例4.12对于任意非负随机变量X和ε>0任意,证明不等式证明(1)设X是离散型随机变量,其一切可能值为{xi},则(2)设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),则

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