随机变量的方差及标准差

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1、§2随机变量的方差及标准差例如：有两批钢筋，每批十根，它们的抗拉指标依次为第一批：110，120，120，125，125，125，130，130，135，140；第二批：90，100，120，125，125，130，135，145，145，145.这两批的抗拉指标的平均值都是126.但是，使用钢筋时，一般要求不低于一个指定数值，例如115.那么，第二批钢筋的诸抗拉指标由于与平均值偏差较大，即取值较分散，所以它们中间尽管有几根的抗拉指标很大，但是不合格的根数比第一批多.从而，从实用价值来讲，可以认为第二批的

2、质量比第一批差.从这个例子中看到，了解实际指标与平均值的偏差情况是有必要的.通常用它的数学期望来计量取值时以它的数学期望为中心的分散程度.把这个数字特征叫做的方差，记作（或）.即规定（2.1）定义同时称为随机变量的标准差.注这个表达式有时可以用来计算按数学期望的性质，由于是一个常数，因此对离散型随机变量，按上（2.1）式有其中是的分布律.对连续型随机变量，按上（2.1）式有其中是的概率密度.方差具有下列性质：（2）设是随机变量，是常数，则有（3）设，是随机变量，则有（4）的充要条件是以概率１取常数即显然，

3、这里证：这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.特别，若相互独立，则有：（1）设是常数，则证明（4）证略.下证（1），（2），（3）.（3）（2）（1）上式中若相互独立，由期望的性质知上式右端为０，从而例1设随机变量具有数学期望方差记，则即的数学期望为０，方差为１，称为的标准化随机变量.例2设随机变量具有（０—１）分布，其分布律为也记为求例3设服从即，求.解：解：解由（2—2）式得：解又所以例4设服从，求例5设随机变量服从指数分布：其中求解：解：解的概率密度为即数学期望位于区间

4、的中点.从而方差为的数学期望为解由上节例3有,又于是例6设.求例7设求解：解：解由二项分布的定义知，随机变量是重贝努里试验中事件发生的次数，且在每次试验中发生的概率为引入随机变量易知，由于只依赖于第次试验，而各次试验相互独立，于是相互独立，又知服从同一（0-1）分布，即从而，以为参数的二项分布随机变量，可分解成个相互独立且都服从以为参数的（0-1）分布的随机变量之和.由例2知故有又由于相互独立，得解先求标准正态随机变量的数学期望和方差，的概率密度为因得于是从而看出，一般正态分布中的参数依次是相应随机变量的

5、数学期望及方差，只要利用数学期望及方差这两个数字特征便能完全定出这一分布.这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数和分别就是该分布的数学期望和均方差，因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.再者，由上一章§4中例3知道，若则它们的线性组合：是不全为0的常数）仍然服从正态分布，于是由数学期望和方差的性质知道这是一个重要结果.例如，若，且相互独立，则也服从正态分布，而故有下面，我们把一些常见随机变量的概率分布、均值、方差等列出表4-2，以便查阅.