阶线性微分方程解的解构

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1、二阶线性微分方程解的结构第五节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构一、二阶线性微分方程的一般形式及函数组的线性相关性第七章n阶线性微分方程时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y下面考虑二阶线性微分方程的解时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y证毕二阶线性齐次方程解的解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理1.说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,对于二阶

2、齐次微分线性方程是它的一个的解,也是它的一个解并不是通解但是因为是它的另一个的解,定义:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上必需全为0,则在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数

3、,故方程的通解为结论一：二阶齐次线性微分方程的求解问题转化为求两个线性无关的特解的问题三、非齐次线性微分方程解的结构.机动目录上页下页返回结束定理3的特解,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)推论1：非齐次线性微分方程的解与其对应的齐次微分方程的解之和仍然是非齐次线性微分方程的解是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理4.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①机动目录上页下页返回结束是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因

4、而②也是通解.结论二：二阶非齐次线性微分方程的求解问题转化为求对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的一个特解的问题*一般求解方法：1：通过变量替换降阶—降阶法2：通过对齐次方程的同解进行常数变易求非齐次方程的通解—常数变易法上述关于二阶线性微分方程可推广至n阶定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解例3.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解

5、为有三作业P3121（口头）；2；3；4第八节目录上页下页返回结束