阶线性方程)(I)高等数学微积分

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1、1.一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.6.2.4一阶线性微分方程例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为(1)线性齐次方程2.一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(2)线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1例2求下列微分方程满足所给初始条件的特解:解于是将方程标准化为例2求下列微分方程满足所给初始条件的特解:解于是将方程标准化为故所求特解为由初

2、始条件得例3如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为例4已知函数.解原方程实际上是标准的线性方程,其中直接代入通解公式,得通解求解方程是的例5解方程变为这个方程不是一阶线性微分方程,不便求解.如果方程改写为则为一阶线性微分方程,于是对应齐次方程为求方程的通解.当将看作的函数时,将看作的函数,例5解求方程的通解.利用常数变易法,设题设方程其中为任意常数,分离变量,即并积分得代入原方程,积分得的通解为得其中为任意常数.故原方程的通解为例6求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程

3、通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,y为自变量的一阶线性方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.6.2.5伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式例7解得解得求的通解.两端除以令得故所求通解为例8解上式即变为一阶线性方程求方程的通解.令则于是得到伯努利方程令其通解为例8解上式即变为一阶线性方程求方程的通解.令其通解为回代原变量,即得到题设方程的通解例10用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解小结:1.一阶线性方程方法1

4、先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程1.判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程思考题解思考题2.求微分方程的通解.3.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出思考题4.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有思考题2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径

5、公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.练习题练习题答案