重积分计算习题(I)

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1、习题课二重积分的计算二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：①作出积分区域的草图②选择适当的坐标系③选定积分次序，定出积分限1。关于坐标系的选择这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑一、主要内容被积函数呈常用极坐标其它以直角坐标为宜2。关于积分次序的选择选序原则①能积分，②少分片，③计算简3。关于积分限的确定二重积分的面积元为正确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形看图定限—穿越法定限和不等式定限先选序，后定限①直角坐标系ⅰ。先y后x，过任一x∈[a,b],作平行于y轴的直线穿过D的内

2、部从D的下边界曲线穿入—内层积分的下限从上边界曲线穿出—内层积分的上限ⅱ。先x后y过任一y∈[c,d]作平行于x轴的直线定限左边界——内层积分的下限右边界——内层积分的上限则将D分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加②极坐标系积分次序一般是过极点O作任一极角为的射线从D的边界曲线穿入从穿出ⅲ。如D须分片——内下限—内上限具体可分为三种情况⑵极点在D的边界上是边界在极点处的切线的极角绝大多数情况下为0⑶极点在D的内部化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘r⑴极点在D的外部4。关于对称性利

3、用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用对①若D关于x轴对称②若D关于y轴对称③若D关于原点对称——称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”①、②、③简单地说就是④若D关于直线y=x对称5关于二重积分的换元法f(x,y)在D上连续变换T：x=x(u,v),y=y

4、(u,v)将uov平面上的闭区域D1变成xoy平面的闭区域D（1）x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有连续的一阶偏导数（2）在D1上基本要求:变换后定限简便，求积容易．注意二、例题分析例1计算解积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域都有意义必须限制因此D只能在x=0，x=2之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单显然r呢？极点在D的边界上，所以那就错了不能以为极点O在区域的边界上就误以为对r积分的下限为0定r的积分限，应先固定以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交

5、穿入从从穿出积分限如何确定尽管极点在D的边界上但极角为的射线并不是从极点穿入而不是域D的极坐标表示为解D关于x,y轴及原点及y=x对称故故例2计算解例3计算D1D2解D的边界极点在D的边界上圆周在(0,0)的切线斜率为故例4计算例5计算D2D1解（和差化积）例6设f(x)在[0,1]上连续求解D试将二重积分化成定积分解由积分域和被积函数的对称性有用极坐标例7为将二次积分化为所需要的定积分，须变换积分次序DD1依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数化为一元函数自然想到用极坐标其次，若先对r后对不可进一步化为定积分又想到换序例8设f(x)连续，

6、证明注证一令则uv证二xy证三记则（分部积分）