重积分的几种计算方法

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1、当R3，有X=(x,y,z),d=dv则三重积分1.直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下，记体积元素dv=dxdydzdzdydxyxz0则三重积分xyz0z=z2(x,y)z=z1(x,y)D(1)化成一个定积分和一个二重积分设D为在xy平面上投影区域.y=y1(x)bay=y2(x)zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1xy例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,解：D:0≤y≤,0≤x≤y

2、xz0D0yxy=y1(x,z)z0y=y2(x,z)Dxzyxx=x2(y,z)z0x=x1(y,z)Dyzyx例3.将化为三次定积分，其中是由z=x2+y2和z=1所围的闭区域.解：先对z积分，将向xy平面投影.z=x2+y2x2+y2=1D:x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2xyz01Dxyz=1z=x2+y2解2：先对y积分，将向xz平面投影：z=x2+y2Dxy:x2≤z≤1,z=11≤x≤1z=x2+y2xyz0Dxz11(2)化为一个二重积分和一个定

3、积分:(x,y)D(z),z1≤z≤z20xzyz2zz2D(z)例4.计算其中是由z=x2+y2和z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]例5.计算解：D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤1xyzxy0111x:0≤x≤1其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.D(x)z=1xyxy01x1x2.利用柱面坐标计算三重积分M(r,,z)x=rcosy=rsinz=z(0≤r<+,0≤≤2,

4、面坐标的三组坐标面分别为r=常数=常数z=常数xyzo=r故dxdydz=rdrddz例1.计算其中由与z=1所围闭区域.解：D:x2+y2≤1z=1z=rz=0xyz0Dz=rz=1xyz0z=rz=11D例2.计算={(x,y,z)

5、x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1xyz01例3.再解例1其中是由与z=1所围闭区域.解：用=截得D()而0≤≤2故原积分=xyzxzyD()z1r0z=r1例4.再解例2其中={(x,y,z)

6、x2+y2+z2≤1,z≥0

7、}.解：用=截得D()而0≤≤2故原积分=xyz0xyz0011rz3.利用球面坐标计算三重积分M(r,,)x=OPcosz=rcos(0≤r<+,0≤≤,0≤≤2)y=OPsin•M0zxyrPxyz=rsincos=rsinsin球面坐标的三组坐标面：r=常数=常数=常数dxdydz=r2sindrddzxy例5.计算其中={(x,y,z)

8、x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：x2+y2+z2=1r=1而0≤≤2故用=截得D()原积分x

9、yz0xyz0z011r=1例6.和x2+y2+z2=a2所围成闭区域.解：x2+y2+z2=a2r=a原积分zyxazyxar=az例7.计算次积分，其中为x2+y2+(z1)2≤1.解：x2+y2+(z1)2≤1r=2cosxyz0表为球坐标系中的三zy