重积分的换元法(II)

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1、第二节一、利用极坐标计算二重积分二、计算二重积分的换元法机动目录上页下页返回结束二重积分的换元法第七章对应有一、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为机动目录上页下页返回结束即机动目录上页下页返回结束设则特别,对机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束例1.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题

2、无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束例2.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知机动目录上页下页返回结束定积分换元法二、二重积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,机动目录上页下页返回结束证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在

3、xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为则机动目录上页下页返回结束同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为机动目录上页下页返回结束因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,机动目录上页下页返回结束例3.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令则机动目录上页下页返回结束例4.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令则机动目录上页下页返回结束例5.试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.机动目录上页下页返回结束内容小结(1)二重积分化

4、为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则机动目录上页下页返回结束则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下机动目录上页下页返回结束(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•写出积分限•计算要简便图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动目录上页下页返回结束1.交换积分顺序提示:积分域如图机动目录上页下页返回结束2.计算其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.机动目录上页下页返回结束