重积分的换元法及其应用的研究

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1、陕西理工学院毕业论文题目重积分的换元法及其应用的研究学生姓名学号所在学院数学与计算机科学学院专业班级数应1102班指导教师完成地点陕西理工学院2015年05月13日陕西理工学院毕业论文重积分的换元法及其应用的研究（陕西理工学院数计学院数学与应用数学数应1102班，陕西汉中72300x）指导老师：[摘要]换元法是数学中求重积分时用到的一种非常重要的计算方法，它不仅是重点，也是难点。文章中给出了求二重积分的几种换元法，比用传统的先将积分区域分成几个X/Y-型区域再分别求解几个积分及其和的方法更方便。另外，给出了三重积分的换元法变换公式，及其它在球面坐标与柱面坐标的计算。利用换元法将复杂的公

2、式代换为简单的积分计算。[关键词]二重积分；三重积分；换元法；雅克比行列式8第页共16页陕西理工学院毕业论文目录摘要1目录1一、二重积分计算的换元法31、二重积分换元法公式22、二重积分换元法的极坐标计算4二、三重积分计算的换元法41、三重积分的换元法公式82、三重积分的换元法的柱坐标与球坐标计算6参考文献16致谢168第页共16页陕西理工学院毕业论文一、二重积分换元法1、二重积分换元法公式定理1(二重积分换元法)若函数在有界闭区域连续，函数组①将平面的区域一对一的变换为平面上的区域，且函数组①在上对与存在连续偏导数，，有，则有：．2、二重积分换元法的极坐标变换2.1极坐标变换介绍在二

3、重积分的被积函数或积分区域的边界曲线方程中含有“”时，常用极坐标变换．例1求二重积分其中为圆所围成的区域．分析：此题为二重积分计算，{}被积函数中含有“”，故适合应用极坐标变换：进行求解，其中雅可比行列式为：.解:因为被积函数与积分区域的边界曲线的方程都含有“”，所以取极坐标变换：，满足，因此8第页共16页陕西理工学院毕业论文2.2广义极坐标变换若被积函数或积分区域的边界区显得方程含有“”时，则可用广义极坐标变换，J=abr.例2、计算，其中D为椭圆=1所围成的闭区域。解：作广义极坐标变换，D→=，。在内仅当r=0时为零，故换元公式仍然成立。==。2.3若积分函数或积分区域的方程含有“

4、”时，可作变换:例3、求其中D是曲线=，直线所围成的区域。解：作变换T:T将D变为=，所以==4==8第页共16页陕西理工学院毕业论文2.4为简化积分函数作变换有些重积分，积分很容易确定，但被积函数却不易找到原函数，这时可根据被积函数的特点，作出适当的变换。例4计算，解:令，故原式===。二、三重积分换元法1、三重积分换元法公式定理2(三重积分换元法)设替换公式：，，，将空间中区域一对一的映成空间中的区域，，，关于，，在内有连续的二阶偏导数，且它们的函数行列式，，则区域的体积．2、三重积分的柱面坐标变换与球面坐标变换的计算2.1柱面坐标变换当满足如下条件时可以考虑进行柱面坐标变换1)积

5、分区域的边界面中有柱面或圆锥面；2)被积函数为等类型。3)柱面坐标变换公式为其中雅克比行列式为:8第页共16页陕西理工学院毕业论文,故例1、计算解：用柱坐标变换。。例2、是由平面上的曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域。解:曲线绕轴旋转，所得的旋转曲面方程为由于立体在平面的投影为圆域.故采用柱坐标变换。2.2球面坐标变换当满足如下条件时可以考虑进行球面坐标变换；1）积分区域的边界面中有球面或锥面；2）被积函数为等类型。球面坐标变换公式为：，，故例3计算所围成。解：利用球坐标变换8第页共16页陕西理工学院毕业论文，则参考文献：[1]向长福，二重积分换元法的教学研究[J]，曲靖师范学

6、院数学与信息科学学院，（2010）[2]陈浩，一例三重积分的解法剖析[J]，宿州学院学报，(2010)[3]王俊青，二重积分的换元法[J]，德州教育学院，(1994)[4]孙树东，二重积分换元公式的再理解及应用[J]，新疆警察学院，（2014）[4]华东师范大学数学系，数学分析[M],北京：高等教育出版社，(2001)[5]吉林大学数学系，数学分析[M]，北京：人民教育出版社，(1978)[6]刘玉琏，傅沛仁，林玎，数学分析讲义（下）[M]，高等教育出版社，(2003)[7]陈浩，一例三重积分的解法剖析[J]，宿州学院学报，(2010)[8]杨玉敏，三重积分的计算方法小结[J]，鞍山师

7、范学院报，（2007）[9]周俊,三重积分求解方法的深入探究[J],荆楚理工学院学报,(2007)致谢通过这一阶段的努力，我的毕业论文《重积分的换元法及其应用研究》终于完成了，在本文的撰写过程中，王树勋老师作为我的指导老师，他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。王树勋老师不仅使我接受了全新的思想观念，树立了明确的目标，领会了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，而且还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。