应用时间序列分位数回归

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1、目录一、为什么需要分位数回归二、总体分位数三、样本分位数四、分位数回归的估计方法五、分位数回归模型的估计六、R软件操作分位数回归一、为什么需要分位数回归？1、一般的回归模型着重考察x对y的条件期望E(y

2、x)的影响，如果y

3、x不是对称分布，则E(y

4、x)难以反映条件分布的全貌。如果能够估计条件分布y

5、x的若干重要的条件分位数，比如中位数等，能够更加全面的描述被解释变量条件分布的全貌，而不是仅仅分析被解释变量的条件期望（均值）。不同分位数下的回归系数估计量常常不同，即解释变量对不同水平被解释变量的影响不同。2

6、、使用OLS进行“均值回归”，由于最小化的目标函数为残差平方和，容易受极端值影响。“分位数回归”，使用残差绝对值的加权平均作为最小化的目标函数，不易受极端值影响。而且，分位数回归对误差项并不要求很强的假设条件，因此对于非正态分布而言，分位数回归系数估计量则更加稳健。二、总体分位数假设Y为连续型随机变量，其累积分布函数为Fy(·)。Y的“总体q分位数”，记为yq，满足以下定义式：q=P(Y≤yq)=Fy(yq)£=总体q分位数正好将总体分布分为两部分，其中小于或等于yq的概率为q，而大于yq的概率为(1-q)

7、。如果q=1/2，则为中位数，正好将总体分为两个相等的部分。如果Fy(·)严格单调递增，则有yq=Fy-1(q)对于回归模型，记条件分布y

8、x的累积分布函数为Fy

9、x(·)。条件分布y

10、x的总体q分位数，记为yq，满足以下定义式：q=Fy

11、x(yq)假设Fy

12、x(·)严格单调递增，则有yq=Fy

13、x-1(q)由于条件累积分布函数Fy

14、x(·)依赖于x，故条件分布y

15、x的总体q分位数yq也依赖于x，记为yq(x)，称为“条件分位数函数”。对于线性回归模型，如果扰动项满足同方差的假定，或扰动项的异方差形式为乘积

16、形式，则yq(x)是x的线性函数。证明如下：y=x’β+uu=x’α·εε~iid(0,σ2)不失一般性，假设x’α>0。如果x’α为常数，则扰动项u为同方差；反之，则为乘积形式的异方差。根据定义，条件分位数函数yq(x)满足q=P｛y≤yq(x)｝(条件分位数的定义)=P｛x’β+u≤yq(x)｝=P｛u≤yq(x)–x’β｝=P｛x’α·ε≤yq(x)–x’β｝=P｛ε≤(yq(x)–x’β)/(x’α)｝=Fε(yq(x)–x’β)/(x’α))其中，Fε(·)为ε的累积分布函数。因此，(yq(x)–

17、x’β)/(x’α)=Fε-1(q)。yq(x)=x’β+x’α*Fε-1(q)，故yq(x)是x的线性函数。在同方差的情况下，x’α为常数，所有条件分位数函数{yq(x),0

18、(2),…,y(n)}。yq等于第[nq]个最小观测值，其中n为样本容量，[nq]表示大于或等于nq而离nq最近的正整数。【例】n=97，q=0.25，则[nq]=[97*0.25]=[24.25]=25。但这种方法不易推广到回归模型。一种等价方法是，将样本分位数看成是某最小化问题的解。样本均值也可看成是最小化残差平方和的解：minui=1nyi-μ2mu=y=1ni=1nyi样本中位数可视为“最小化残差绝对值之和”问题的解：minμi=1nyi-μμ=median{y1,y2,…,yn}为什么求解这个最小

19、化问题会得到样本中位数呢？因为只要μ的取值偏离中位数，就会使得残差绝对值之和上升。例考虑一个样本容量为99的样本，假设其样本中位数(即第50个最小观测值)为10。……491050th12……49假设第51个最小观测值为12。如让μ=12而不是10，则对于前50个观测值而言，其残差绝对值yi-μ都将增加2；对于后49个观测值而言，其残差绝对值yi-μ都将减少2。故总变动为(50*2)-(49*2)=2，故第51个最小观测值不如第50个最小观测值(中位数)更能使目标函数最小化。同理，第49个最小观测值也不如第5

20、0个最小观测值。由此可知，第50个最小观测值(中位数)是最优解。命题可以将样本q分位数视为以下最小化残差绝对值的加权平均问题的最优解：minμi:yi≥μnqyi-μ+i:yi<μn1-qyi-μμ=yq例如果q=1/4，则满足“yi≥μ”条件的观测值只得到1/4的权重，而满足“yi<μ”条件的其余观测值则得到3/4的权重。因为估计的是1/4分位数(位于总体的底部)，故较大的观测值得到的权重较小，而较小的观测值得