课标理科数学第二章第九节函数模型及其应用

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1、第九节　函数模型及其应用1．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性_______________________________________增长速度越来越快越来越慢相对平稳大小比较存在一个x0，当x＞x0时，有______________单调递增单调递增单调递增logax＜xn＜ax2.常见的几种函数模型(1)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)型．(2)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1

2、，m≠0)型．(3)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)型．(4)分段函数模型．1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上函数值是如何变化的？【提示】当x∈(0，2)时，2x＞x2，当x∈(2，4)时，x2＞2x，当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2.2．直线上升、指数增长、对数增长各有什么特点？【提示】直线上升，匀速增长；指数增长，先慢后快，其增长量成倍增加，可用“指数爆炸”形容；对数增长；先快后慢，其增长速度缓慢．1．(人教A版教材习题改编)一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm

3、)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()【解析】由题意知h＝20－5t，故选B.【答案】B2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝0.5×[m]＋1(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.62]＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5，3.2]时，函数f(m)的值域是()A．{1，2，3，4}B．{1，1.5，2，2.5}C．{1，1.5，2.5，3}D．{1.5，2，2.5}【解析】当m∈[0.5，3.2]时，[m]所有可能值为0，1，2，3共四个，故f(m)的值域为{1，

4、1.5，2，2.5}．【答案】B【答案】B4．(2013·揭阳调研)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中．测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【答案】610000【审题视点】计算实施规划前后10年总利润，通过比较可知该规划方案是否具有实施价值．1．本题在求规划实施前最大利润时，易忽视二次函数的特性

5、，直接把x＝60代入求解，造成错误答案．2．(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图2－9－1(1)；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2－9－1(2)(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若

6、平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．【思路点拨】(1)解关于2t的一元二次方程求解．(2)转化为恒成立问题求解．1．解答本题的关键是把所求解问题转化为一元二次方程或二次函数问题求解．2．(1)指数

7、函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．(2)应用指数函数模型时，先设定模型将有关已知数据代入计算验证，确定参数．(2013·梅州模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速

8、度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【思路点拨】(1)当20≤x≤200时，运用待定系数法求v(x)的解析式，进而确定当0≤x≤200时，分段函数v(x)．(2)根据(1)求出f(x)，根