计算声学第一章数值计算中的误差分析

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1、前言课程目的和任务：通过对一些基本声学和水声学问题的分析和求解，掌握基本声学理论计算与工程研究中常用的数值计算方法，培养综合运用声学专业知识、数学知识和计算机技术解决科学研究中手工所不能解算的问题，具备应用现代计算工具解决工程实际问题的能力。水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收，用以解决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学问题。声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐射形式。因此作为信息载体的声波，在海洋中所形成的声场时空结构，就成为近代水声学的基本研究内容，而提取海洋中声场信息的结

2、构是我们用来进行水下探测、识别、通信及环境监测等的手段。前言前言海洋环境波动方程：波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动特征，也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前，为了使问题简化，需要对介质和声波做一些假设：（1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声学性质保持不变；（2）介质是理想流体介质，声波在其中传播时没有能量损耗，即忽略介质的粘滞性和热传导性；（3）研究小振幅波的传播规律，所谓小振幅波是指各声学量都是一级小量。波动方程是描述波动运动的数学表达式，它由连续性方

3、程、状态方程和运动方程推导得到。前言波动方程：理想流体介质中小振幅平面波的波动方程为（沿轴向传播）：小振幅声压在三维坐标下的波动方程为为拉普拉斯算符，在直角坐标系中前言海洋声场的数值预报在建立了能够反映海洋环境因素对声场的制约关系的声场物理模型（波动方程+定解条件）的基础上，根据可测海洋环境参数的测定值或预报值，编写程序完成数值计算，给出相应海洋环境条件下的有关场值。近年来，由于计算机的快速发展，数值计算声场是一个快速发展的领域。海洋声场的数值预报方法主要有射线算法、简正波算法、抛物方程（PE）算法

4、、快速场（FFP）算法等，各自有不同的适应范围。前言前言函数插值：已知一组不同深度处的声速值，如何得到任意深度处的声速值？深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0声速(m/s)1510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8前言前言数值积分：声线轨迹计算声线从深度传播到深度所经过的水平距离为

5、前言问题：利用射线声学模型对海洋声场进行求解伪彩色图前言前言三维环境下声传播前言三维海洋环境下特征声线求解：为声线的位置信息，需要求解，其它参数已知。前言三维海洋环境下特征声线求解（线性方程组、非线性方程、非线性方程组）1.牛顿法迭代法：泰勒级数展开式的线性部分近似2.进化算法：遗传算法、模拟退化算法、粒子群算法等前言曲线拟合：已知目标散射场指向性的实验测量结果如图所示，如何比对其与理论计算结果的误差？铝球散射声场指向性频率kHz微分方程求解：随机共振系统对微弱信号的检测非线性双稳态随机共振系统利用

6、四阶龙格库塔算法求解前言前言四阶龙格库塔算法前言前言前言前言必要性：现代科学研究和高技术的发展越来越需要借助计算机进行数值计算，水声领域也不例外。讲授的主要内容：1、数值计算方法：误差分析、方程组求解、非线性方程求解、插值法、最小二乘与曲线拟合、数值微积分、常微分方程求解；2、进化算法（方程组求解）：量子粒子群算法；3、虚源法声场建模。数值计算的对象、任务与特点对象：数值计算方法是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论的一个分支，涉及代数、微积分、微分方程等的数值解问题。任务：研究适合在计算机

7、上使用的数值计算方法及相关理论，如方法的收敛性、稳定性和误差分析等；还要根据计算机的特点研究如何设计计算方法做到计算时间短、占用内存小。学习目的：提高应用计算机解决实际问题的能力。数值计算的对象、任务与特点数值计算流程：特点：既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际实验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研究方法与理论体系的计算数学课程。数值计算中的误差分析内容提要：掌握绝对误差、相对误差、有效数字、数值计算的误差估计以及设计算法的原则。重点内容：绝对误差、相对误差、有

8、效数字的概念，数值计算的误差估计。误差与数值计算的误差估计一、误差的来源与分类将一个数的准确值与其近似值之差称为误差。1.分类过失误差：人为造成，可以避免非过失误差：无法避免，分析产生原因，限制在许可范围之内§2误差与数值计算的误差估计2.误差来源（非过失误差）模型误差：数学模型是通过对实际问题进行抽象和简化建立的，是一种近似描述。观测误差：测量工具精度与测量手段的限制。舍入误差：计算机位数的限制，由于计算机的字长是有限的，对参与计算的数据和最后得到的计算结果，都必然