北邮研究生概率练习题

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1、一、填空题：1．设集合{1,2,3}，则定义在上的包含{1}的最小-代数是.12．设随机事件A,,A两两不相容且满足P()A,n1,2,.记12nn3AA,则概率PA().nn13．若集函数为定义在代数G上的测度，则当时，为定义在代数G上的概率测度.4．若A,A12是上的两个非空集合类，i是Ai(i1,2)上的测度，若满足：（1）;（2），则称2是1在A2上的扩张。5．（1）设,,F,RB为二可测空间，f是从到R上的映射。若对BB，有，则称f是从,,FB到R上的可测映射；（2）设,F,P为一概率空间，

2、X是从,F,P到R,B上的取有限值的实函数，若对任意实数x，有，则称X是,F,P上的随机变量。6．设为定义在概率空间,F,P上的随机变量，则数学期望EX用可测函数的积分表示形式为；若的分布函数为Fx()，则数学期望EX的L-S积分形式为.7．设随机过程Xt()YcostZsin,tt0,其中随机变量YZ,独立同分布于标准正态分布N(0,1),则Xt()的一维概率密度函数fxt(;).8．设随机过程{()}Xt均方可导，导数为Xt'()，相关函数12Rst(,)s(2t1)，则R(,)st.XX'69．设Nt()为参数为1的泊松过程,N

3、(0)0,则条件概率1PN((2)2

4、N(1)1).210.设Wt()为参数为的维纳过程,W(0)0,则二维随机变量WW(1),(2)的协方差矩阵为.二.设A是集代数，也是单调类，证明A是-代数.三.设随机变量R和相互独立，且~U(0,2)，R具有概率密度2rr2er20fr()2R00r令X=Rcos，Y=Rsin，求(,)XY的概率密度.四.设X与Y均服从参数为1的指数分布，且相互独立，求条件数学期望EXY[()

5、(XY)].五.设随机变量X的分布列为kPX{k}ek,01,2，,k!（1）求随机变量X

6、的特征函数()t;X2（2）利用特征函数的性质求EX.六.设随机过程Yt()Xt()cos(t),为常数，tT(,),其中00X(t)是平稳过程，自相关函数为R()，谱密度为S()，服从[0,2]上的XX均匀分布且X(t)与独立。证明Y(t)是平稳过程并求其谱密度。七.3个人(分别称为第1,2,3人)相互传球,每次传球时,传球者等可能地把球传给其余2人中的任何一人．对n0,1,2,...,X表示经过n次传递后球的状态n（若经过n次传递后，球在第i人手中，则Xi(i1,2,3)）,令X1.n0（1）证明{X,n0}为齐次马氏链，并写

7、出一步转移概率矩阵；n2（2）求经过2次和4次传递后，球都回到第１人手中的概率PX{}1,X1.24八.设马氏链{Xn,0}的状态空间为{1,2,3,4,5,6}，转移概率矩阵为n1100002211000022001000P1110003331100002211000022确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.九.设{Xn,1,2,}是齐次有限马氏链,证明n（1）所用非常返态不构成闭集;（2）状态空间中无零常返态.3