函数与函数方程竞赛

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1、函数与函数方程竞赛讲座一函数的迭代1.定义:设是定义在上且取值在上的函数，记，，，，则称是函数在上的迭代，称为的迭代次数.2.求次迭代的方法:①归纳法；②递推法；③桥函数相似法.先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题：五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第

2、三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？设桃子的总数为个．第只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为个，则，且．设．于是由于剩下的桃子数都是整数，所以，．因此，最小的为：．上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设是一个函数，对，记，，，…，，，则称函数为的次迭代，并称为的迭代指数．反函数记为．一些简单函数的次迭代如下：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若（），则；的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式

3、，证明时常用数学归纳法．1．求迭代后的函数值例1：自然数的各位数字和的平方记为，且，则（）的值域为（）（A）（B）（C）（D）解：由条件可知：所以（）的值域为。例2：设，而，．记，则．解：因为，所以，而所以。即，故。例3：求解函数方程：解：设，则并且，，于是原方程变为：①令得：②令得：③令得：④由①②③④得：∴例4已知，求.解，，∴，，由数学归纳法易知.注：在函数迭代中，通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.2．不动点法一般地，若，则把它写成因而……这里的就是方程的根．一般地，方程的根称为函数的不动点．如果是函数的

4、不动点，则也是的不动点．可用数学归纳法证明．利用不动点能较快地求得函数的次迭代式．定理1设是的不动点，则对于正整数，有.证，，两式相减得，（1）当时，由（1）知结论成立。假设时结论成立，那么对于，，即时结论也成立。由归纳法原理知结论成立。例5：已知是一次函数，且，求的解析式．例6已知为一次函数，且，求.解设，显然.令，得，即为的不动点.由定理1知，，，，解之得，所以.例7：若，求．例8.已知满足条件：(1)对任意;(2)解：令可见其不动点集为。再令，代入条件(1)得，再将代入得，结合两式可得：，故，这说明1是的不动点。下面

5、用反证法证明的不动点是唯一的。假设存在。i.若,由，令得，从而这与条件（2）矛盾。ii.若,由,而这与i矛盾。综上只有一个不动点1，所以，即.3．相似法若存在一个函数以及它的反函数，使得，我们称通过和相似，简称和相似，其中称为桥函数．如果和相似，即，则有：．定理2设与都是的函数，的反函数为，若，则.定理2可用数学归纳法证明。例9：若，求．函数与函数方程竞赛讲座二函数方程1.常见题型:①已知函数方程,求函数值；②已知函数方程,讨论函数性质；③由函数方程讨论函数的有界性、对称性、周期性等性质；④讨论函数方程解的问题,讨论给定的

6、函数方程是否有解(常用反证法或构造法)和给定方程的所有解.函数方程的变化多，求解技巧性很强，往往涉及不同领域的数学知识，特别是附加了条件的函数，更是五花八门，各有巧妙。迭代只是其中的一种方法，在高中数学各级竞赛中，都有可能会遇到函数方程的问题，还有可能会用到观察法、代换法、柯西法、赋值法（特殊值法）等几种典型的求解函数的方法。如：1．代换法例1.解函数方程.解：令，代入原式得(1)，代入原式得：(2)又：(3)三个方程中仅含有∴由方程组(1)(2)(3)得即：检验：所以.经检验上式满足条件.注:事实上,对于函数方程,其中为

7、已知函数,如果存在一个，使得(k次迭代)，即可用上述的方法求解。解二:令，則;此时可将(2)式表示为……迭代一次可得……再迭代一次可得…解方程可得检验略。例2：（2007越南数学奥林匹克）设b是一个正实数，试求所有函数，使得对任意实数x、y均成立。解：将原方程变形为：(x,①令，则①等价于(x,②在②中令得这表明1）若，则2）若，在②式中令得：即③考虑函数，它的导函数，则于是可知有两根和于是③式等价于或,c为满足的常量）假设存在使，则∴或1，∴矛盾，因此，∴综上知：说明：代换法是解函数方程最基本方法，很多函数方程中所特有的

8、性质是通过代换法去发现的。本题也是通过代换法打开了解题的思路。2．柯西法（在单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解）.定理3设是的函数，且对于任意，有，则（1）对于任意，有；（2）对于任意，有.定理3用数学归纳法易证.定理4若对于任意的，有（1）则.证由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正