4_4解结构和子空间

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1、§4.5线性方程组的解的结构1回顾：线性方程组的解的判定1.包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n．2.包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)=R(A,b)，并且当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(A,b)n时，方程组有无限多个解．2引言问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．备注：当方程组存在唯一解时

2、，无须讨论解的结构．下面的讨论都是假设线性方程组有解．3解向量的定义定义：设有齐次线性方程组Ax=0，如果x=，x=，...，x=111221nn1为该方程组的解，则1121n1称为方程组的解向量．4齐次线性方程组的解的性质性质1：若x=，x=是齐次线性方程组Ax=0的解，12则x=还是Ax=0的解．12证明：A(=A+A=0+0=0．1212性质2：若x=是齐次线性方程组Ax=0的解，k为实数，则x=k还是Ax=0的解．证明

3、：A(k=k(A)=k0=0．结论：若x=x=,...,x=是齐次线性方程组Ax=012t的解，则x=k+k+…+k还是Ax=0的解.1122tt5结论：若x=x=,...,x=是齐次线性方程组Ax=012t的解，则x=k+k+…+k还是Ax=0的解.1122tt已知齐次方程组Ax=0的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解．能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表示出来？把Ax=0的全体解组成的集合记作S，若求得S的一个极大无

4、关组S：x=x=,...,x=，那么Ax=0的012t通解可表示为x=k+k+…+k．1122tt齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．6基础解系的概念定义：齐次线性方程组Ax=0的一组解向量：...,r如果满足①，，...，线性无关；r②方程组中任意一个解都可以表示...,的线性组合，r那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．定理：设m×n矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集

5、S的秩R=n−r．S7设R(A)=r，为叙述方便，不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组100bbxbxbx0,111,nr111r11,nrn010bbxbxbx0,212,nr221r12,nrn001bbxbxbx0.r,1rnr,rr1r1rnr,nB00000令x,…,x作自由变量，则00000r+1nxbxbx,0000

6、0111r11,nrnmnxbxbx,221r12,nrn前r列后n-r列xbxbx.rr1r1rnr,n8xbxbxbx,111r112r21,nrnxbxbxbx,221r122r22,nrnxrbxr1r1bxr2r2brnr,xn.齐次线性方程组的通解令x=c,x=c,…,x=c，则r+11r+22nn-rbbb11121,nrxbcb

7、c11111,nrnrbbbr1r2rnr,xrbcr11brnrnr,cc1c1c011nrxcr11000xcnnr001记作x=c+c+…+c．（满足基础解系②）1122n-rn-r9bbb11121,nrbbb

8、21222,nr前r行bbbr,1r,2rnr,(,,,)12nr100010后n−r行001n−r列故R(,,…,)=n−r，12n-r即,,…,线性无关．（满足基础解系①）12n-r于是,,…,就是齐次线性方程组Ax=0的基础解系．12n-r10xbxbxbx,111r112r21,nrnxbxbxb