高等数学第二学期内容复习

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1、高等数学第二学期内容复习第九章：多元函数微分法及其应用定义１、多元函数２、多元函数的极限和连续３、偏导数４、全微分５、方向导数和梯度６、极值定理１、有界闭区域上连续函数的最大和最小值２、有界闭区域上连续函数的介值定理３、混合偏导数相等定理４、偏导数与全微分的关系定理可微→偏导数存在偏导数连续→可微５、极值存在的必要条件和充分条件定理公式１、多元复合函数的求导法则１）设　　　　　，　　　　　　　　，则３）设　　　　　　　　　　，２）设则则5）设则4）设　　　　　　　　　　　　　　，则２）设　　　　是由方程　　　　　所确定的隐函数，三元函数　　　　有连续偏导数，且２、隐函

2、数的求导公式１）设　　　是由方程　　　　所确定的隐函数，且二元函数　　　有连续偏导数，且其中　　　为方向　的方向角３、方向导数的计算公式设　　　　　　　　　　　　在其可微点处沿任意方向　的方向导数都存在，且４、多元函数极值的求法１）无条件极值求二元函数极值的步骤：（２）对每一个驻点　　　求出（１）解方程组　　　　　　得驻点（３）判断　　　　的符号为极大值为极小值不是极值不能判断２）条件极值（拉格朗日乘数法）求二元函数　　　　　在条件下的极值的步骤：（１）令其中　为待定常数（２）令（３）判断上述点是否为极值求解重要结论１、一切多元初等函数在其定义区域内连续２、在点　　　

3、处具有偏导数的函数在该点取极值的必要条件是３、连续可微分偏导数存在方向导数存在未必一定未必未必一定偏导数连续则一定未必未必一定未必４、二元函数在点　　　处的连续、可微、偏导数及方向导数等概念之间的关系第十章：重积分定义１、二重积分２、三重积分１、　　　　（Ａ为Ｄ的面积）２、３、４、性质（二重积分与三重积分类似）５、在Ｄ上，若有则６、在Ｄ上，若有则（估值公式）７、（积分中值定理）设　　　在有界闭区域Ｄ上连续，则至少存在一点　　　　使公式１、二重积分计算公式4）极坐标系下的二重积分2）柱面坐标系下2、三重积分计算公式1）直角坐标系下4）截痕法3）球面坐标系下第十一章：曲线

4、积分与曲面积分定义1、第一类曲线积分（对弧长）2、第二类曲线积分（对坐标）3）第一类曲面积分（对面积）4）第二类曲面积分（对坐标）（对弧长的曲线积分与方向无关）性质１、曲线积分的性质（对坐标的曲线积分与方向有关）２、曲面积分的性质（表示与取相反侧的有向曲面）其中Ｌ是Ｄ的正向边界定理1、（Green公式）设函数　　　和在分段光滑的闭曲线Ｌ所围成的闭区域Ｄ上具有一阶连续偏导数，则有Green公式２、（两类曲线积分间的关系）其中　　　　　　　　，　和　表示曲线的切向量的方向角３、（积分与路径无关的充要条件）设函数　　　和　　　在单连通区域Ｄ内具有一阶连续偏导数，则下列四条相

5、互等价１）　　　　　　在Ｄ内与路径无关２）在Ｄ内存在一个函数　　　，使其中为Ｄ内任一取定的点３）其中Ｌ为Ｄ内任一分段光滑的闭曲线４）在Ｄ内，等式　　　　　恒成立４、（两类曲面积分之间的关系）其中　是有向曲面上点处法向量的方向余弦５、（Gauss公式）设空间的有界闭区域　是由分片光滑的闭曲面　所围成，在　上具有一阶连续偏导数，函数则有Gauss公式其中曲面积分取　的外侧公式１、对弧长的曲线积分计算公式１）２）注意：定积分的下限一定小于上限空间曲线的计算类似２、对坐标的曲线积分计算公式１）化成定积分（１）（２）３、对面积的曲面积分的计算公式２）应用Green公式计算平面曲

6、线积分３）应用积分与路径无关的条件计算曲线积分如果光滑曲面　的方程为　　　　和可类似得到其它两个公式４、对坐标的曲面积分的计算公式１）化成二重积分其中　为曲面　的法线方向与ｚ轴正向的夹角当　是锐角时，取正号；当　是钝角时，取负号。如果曲面方程是由　　　　和　　　　　给出可类似得到计算公式２）应用Gauss公式，化成三重积分计算５、向量场的有关公式１）通量公式通量其中　是　上点　　　处指定侧的单位法向量２）散度３）旋度第十二章:无穷级数定义1、常数项级数2、级数的敛散性3、函数项级数4、收敛域、和函数5、幂级数6、幂级数的收敛半径、和函数7、泰勒级数、麦克劳林级数展开8

7、、函数展开成傅立叶级数性质1、级数的各项乘以不为0的常数后，不影响级数的敛散性。2、两个收敛级数的和仍为收敛级数。3、去掉或增加级数的有限项不影响级数的敛散性。4、收敛级数加括号后所得级数仍收敛。5、收敛级数的一般项趋于0（级数收敛的必要条件）。6、幂级数在收敛区间（-R，R）内的和函数连续。7、幂级数的和函数在收敛区间（-R，R）内可积且有逐项积分公式注意：逐项积分后，收敛半径不变。8、幂级数的和函数在收敛区间（-R，R）内可导且有逐项求导公式注意：逐项求导后，收敛半径不变。定理1、正项级数收敛性的判别法1）（比较审敛法）设有两个正项级数和　　，若