包头职业技术学院教案

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1、包头职业技术学院教案课程高等数学授课班级周次课次日期课题导数与微分教学目的1)理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系；2)熟悉导数和微分的运算法则以及导数的基本形式；3)了解高阶导数的概念；能熟练的求初等函数的一阶导数，掌握隐函数的一阶导数。重点难点1）导数与微分的概念，导数的基本形式及复合导数求导；2）复合导数求导。教具作业教学内容、课时分配与教学方法设计2.1导数的概念（2学时）2.2函数的和、差、积、商的求导法则（1学时）2.3复合函数的求导法则（2学时）2.4高阶导数（1学时）2.5隐函数及参数方程所确定的函数的求导法（2

2、学时）2.6函数的微分（2学时）第2章导数与微分本章主要内容：1.导数的概念2.函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则4.高阶导数5.函数的微分基本要求：1.理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系；2.熟悉导数和微分的运算法则以及导数的基本形式；3.了解高阶导数的概念；能熟练的求初等函数的一阶导数。教学内容：2.1导数的概念2.1.1两个实例1.平面曲线的切线xoTL图2-1定义1　设曲线L上有一个定点及一个动点Q，作割线，当Q点沿曲线L移动并趋近于点时，如果这条割线的极限位置存在，那么处于极限位置的直线就叫做曲线L

3、在点处的切线，定点叫做切点（如图2—1所示）．下面讨论切线斜率的求法．设曲线的L的方程为（见图2-2），求曲线在点处的切线斜率．0图2-2设Q点坐标为，割线的倾斜角为，于是割线的斜率为当时，Q点沿曲线L趋近于点，割线的倾斜角为就趋近于切线的倾斜角。于是割线的斜率的极限（如果存在）就是曲线L在点切线的斜率，即2.变速直线运动的速度引例2.设物体做变速直线运动，其运动方程为s=s(t).求物体在t0时刻的瞬时速度。在时刻t0给时间t以增量Δt，求得Δt这段时间内的路程增量为在这段时间内平均速度为令Δt→0，求平均速度的极限，便得到物体在给定时刻t0的速度为2.1.2

4、导数的定义上面的两个实例，其实际意义虽然不同，但它们在数学上都归结为求函数的增量与自变量之比，当自变量的增量趋近于零时的极限．这种类型的极限在自然科学和工程技术的许多问题中都会遇到．如果抽去这些问题的不同的实际意义，只考虑它们在数量关系方面的共同性质，就得出函数的导数定义．定义2　设函数在点及其近旁有定义，当自变量在有增量时，函数有相应的增量如果当时，的极限存在，则称在点处的导数存在或可导，这个极限值就称为函数在点处的导数，记为，即（2-1）也可以记为，，．如果（2-1）式的极限不存在，则称函数在点处导数不存在或不可导．如果函数在区间（a，b）内的每一点都可导，

5、则称函数在区间（a,b）内可导。这时，对于（a，b）内的每一个确定的x，都有唯一的导数值与之对应,所以也是x的函数，称它为的导函数，记为：，，，，区间（a,b）称为函数的可导区间，于是导函数的定义为，显然，函数在点的导数就是导函数在点的函数值，即=，以后，在不引起混淆的情况下，导函数也简称导数．有了导数的定义之后，前面所讨论的两个实例就可叙述为：变速直线运动在时刻的瞬时速度是路程对于时间的导数，即，这就是导数的物理意义．曲线在点处的切线的斜率是函数在点处的导数，即，这就是导数的几何意义．于是当存在时，过曲线上一点的（其中）切线方程及法线方程分别为及2.1.3利用

6、定义求函数的导数根据导数的定义，求函数的导数可分为以下三个步骤：(1)求函数的增量：；(2)计算比值：；(3)取极限，得所求函数的导数：例1求函数（为常数）的导数．解　（1）求增量：因为，即不论取何值，的值总等于，所以．（2）算比值：．（3）取极限：．这就是说，常数的导数等于零，即（为常数）。（2-2）例2　求函数的导数．解　(1).(2).(3),即例3　已知函数，求，．解　设，则（1）．（2）．（3），即．于是．例4　求函数的导数．解　（1）（2）（3）即从上面几个幂函数的求导例子，可以看出它们的共同特点是：把原来函数的幂指数降低一次，并且乘以原来的幂指数，

7、就得到原来函数的导数。这个规律适用于一般的幂函数，即幂函数（为任何实数）的导数公式为　　　　　　　　　　　　　　（2-3）例5　求正弦函数的导数。解　（1）．（2）．（3），即　　　　　　　　　　（2-4）用类似的方法，可求得余弦函数的导数为　　　　　　　　　（2-5）例6　求曲线上哪一点处的切线与直线平行？并求该曲线在点（4，8）处的切线方程和法线方程．解　根据导数的几何意义，曲线在任意一点处的切线斜率为而直线的斜率为6，由两直线平行的条件知解之，得，将其代入曲线方程中得，所以曲线在点处的切线和直线平行．又因为曲线过点（4，8）的切线斜率为所以曲线在点（4，8

8、）处的切线方程为即法线方