高三数学专题复习：第一部分专题四第三讲

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1、第三讲　空间向量与立体几何主干知识整合2．几何法求空间角与距离的步骤一作、二证、三计算．高考热点讲练热点一向量法证明垂直与平行例1如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.【证明】(1)以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.如图，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，

2、C(0,2,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，【归纳拓展】用向量法证明平行、垂直问题的步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．变式训练1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点．(1)求证：D1F⊥平面ADE；(2)设正方形ADD1A1的中心为M，B1C1的中点为N，求证：MN∥平面ADE.热点二向量法求线线角和线面角例2(2011年高考四

3、川卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1∥平面BDA1；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值．(2011年高考北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．例3【解】(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA

4、⊥BD.所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O，【归纳拓展】(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系．②求出相关点的坐标．③写出向量坐标．④结合公式进行论证、计算．⑤转化为几何结论．(2)几个常见空间角的求法：①异面直线所成的角θ可通过直线的方向向量夹角φ求得，即cosθ＝

5、cosφ

6、.②直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sinθ＝

7、cosφ

8、.③二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)求得；也可以通过二面角的两个半平面的法向量的夹角来求，它等于两个法向

9、量的夹角或其补角．变式训练2如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1EDF交A1D1于点F.(1)指出F在A1D1上的位置，并说明理由；(2)求直线A1C与DE所成角的余弦值；(3)求直线AD与平面B1EDF所成角的正弦值．热点三向量法解决探索性问题例4(1)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(2)证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；(3)当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？【解】(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、P

10、B的中点，∴EF∥PC.【归纳拓展】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．变式训练3已知在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝2，AD＝4，BC＝1，侧棱AA1＝4.(1)若E为AA1上一点，试确定E点的位置，使EB∥平面A1CD；(2)在(1)的条件下，求二面角EBDA的余

11、弦值．考题解答技法例(2011年高考山东卷)(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角ABFC的大小．【解】(1)证明：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°.所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG.由于AB＝2EF，2分因此BC＝2FG.连接AF，【得分技巧】第(1)问中的得分点是先证明BC＝2FG，再进一步推