2014年下半年线性代数第一次作业

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1、1.   证明方阵A与有相同的特征值。（5分）因为A与对应的特征多项式分别为，,显然则A与有相同的特征值2.设方程A有特征值2和-1，和，分别是对应的特征向量。试将向量表示成与的线性组合，并求。（5分）设，解方程组的s=-1,t=-2,即3.设方阵A满足证明A的特征值是0或1。（5分）因为,所以，所以A的特征值是0或者1.4.求下列方阵的特征值及对应的线性无关特征向量：（10分）（1）(2)(1)解的3个特征值为1，2，3代入公式分别是当时，，假设解得向量当时，，假设解得向量当时，，假设解得向量的特征

2、向量。证明：不是A的特征向量。（5分）设是A的特征向量，相应的特征值为，则,而,根据特征向量的线性无关性可以推出，矛盾。6.设可逆方阵A与B相似，证明：。（5分）设存在可逆矩阵P，使得,则,即7.第4题中哪些矩阵可对角化？哪些矩阵不能对角化？并对可对角化的矩阵A,求一个可逆矩阵P,使成为对角矩阵。（5分）8.设方阵A满足其中求A及.（5分）由题意，A的三个特征值为1，0，1，再对施行正交化和单位化，得到对应的特征向量，所以，因为，根据的单位正交性可知9.设A为3阶方阵，已知方阵E-A,E+A,3E-A

3、都不可逆。问A是否相似于对角矩阵？为什么？（10分）由题意，A的特征值为，1，-1，3，所以可以相似与对角矩阵。10.已知求内积（5分）11.求一个与都正交的单位向量。（5分）设所求向量为（x,y,z)则可得x=-y=-z,再将该向量单位化，可得12.设A为正交矩阵，证明：A的伴随矩阵也是正交矩阵。（5分）13.设方阵,其中E为n阶单位矩阵，为n维单位向量。证明：A为对称的正交矩阵。（10分）14.求正交矩阵P,使成为对角矩阵，其中A为：。（10分）由得特征值当当当单位化正交矩阵P=15.求二次型的标

4、准形，并写出所作的非退化线性代换.（10分）所以相应的非退化线性变换矩阵为P=