基本不等式知识点归纳资料

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1、基本不等式知识点总结向量不等式：【注意】：同向或有；反向或有；不共线.(这些和实数集中类似)代数不等式：同号或有；异号或有.绝对值不等式：双向不等式：（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）放缩不等式：①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；③，；④，.⑤,.函数图象及性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：，；单调递减区间：，.基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．【变形】：①（当a=b时，）【注意】：，2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，

2、即“平方平均算术平均几何平均调和平均”*.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）*.若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：（，）；*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。*均为正数，八种变式：①；②；③④；⑤若b>0,则；⑥a>0,b>0,则；⑦若a>0,b>0,则；⑧若，则。上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。最值定理（积定和最小）①，若积，则当时和有最小值；（和定积最大）②，若和，则当是积有最大值.【推广】

3、：已知，则有.（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.③已知，若，则有则的最小值为：④已知，若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当时，求函的数最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知，求函数的最大值.⑶调整分子：例3.求函数的值域；⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视；例4.求函数的最大值；⑸连用公式：例5.已知，求的最小值；⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值；⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值；⑻常数代换（逆

4、用条件）：例8.已知，且，求的最小值.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：⑴平方和为定值若（为定值，），可设，其中.①在上是增函数，在上是减函数；②在上是增函数，在上是减函数；③.令，其中.由，得，从而在上是减函数.⑵和为定值若（为定值，），则①在上是增函数，在上是减函数；②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数.③在上是减函数，在上是增函数；⑶积为定值若（为定值，），则①.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数；②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；③在上是减函数，在上是增函数.⑷倒数和为定值若（为

5、定值，），则成等差数列且均不为零，可设公差为，其中，则得.①.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上减函数；②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；③.令，其中且，从而在上是增函数，在上是减函数.