不等式知识点归纳

《不等式知识点归纳》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第三章不等式3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）⑥（平方法则）⑦（开方法则）⑧（倒数法则）2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）.变形公式：②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.变形公式：（也可用柯西不等式）用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.④（当且仅当时取到等号）.⑤（当且仅当时

2、取到等号）.⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）⑦其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺

3、序和）当且仅当或时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如②将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函

4、数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式

5、的解法⑴当时,⑵当时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：①②③④规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑵不等式的解集是全

6、体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不

7、等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数（即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

8、第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“