基本不等式知识点归纳.docx

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1、`基本不等式知识点总结向量不等式:rrrrrr

2、

3、a

4、

5、b

6、

7、≤

8、ab

9、≤

10、a

11、

12、b

13、rrrurururururururur【注意】:a、b同向或有0

14、ab

15、

16、a

17、

18、b

19、≥

20、

21、a

22、

23、b

24、

25、

26、ab

27、;rrrurururururururura、b反向或有0

28、ab

29、

30、a

31、

32、b

33、≥

34、

35、a

36、

37、b

38、

39、

40、ab

41、;rrurururururura、b不共线

42、

43、a

44、

45、b

46、

47、

48、ab

49、

50、a

51、

52、b

53、.(这些和实数集中类似)代数不等式:a,b同号或有0

54、ab

55、

56、a

57、

58、b

59、≥

60、a

61、

62、b

63、

64、ab

65、;a,b异号或有0

66、ab

67、

68、a

69、

70、b

71、≥

72、a

73、

74、b

75、

76、ab

77、.绝对值

78、不等式:a1a2a3≤a1a2a3ababab(ab0时,取等)双向不等式:ab≤ab≤ab(左边当ab≤0(≥0)时取得等号,右边当ab≥0(≤0)时取得等号.)放缩不等式:bmbbm①ab0,am0,则.amaambbm【说明】:(ab0,m0,糖水的浓度问题).aambbmana【拓展】:ab0,m0,n0,则1.aambnbbdbbdd②a,b,cR,,;则acaacc1③nN,n1nnn1;2n11111④nN,n1,.2nn1nn1nx⑤lnx≤1x(x0),e≥x1(xR).b函数f(x)ax(a、b0)图象及性质xb

79、y(1)函数f(x)axa、b0图象如图:xb2abaoxbb(2)函数f(x)axa、b0性质:2abxa①值域:(,2ab][2ab,);bbbb②单调递增区间:(,],,);单调递减区间:(0,],,0).[aa[aaWord文档`基本不等式知识点总结重要不等式221、和积不等式:a,bRab≥2ab(当且仅当ab时取到“”.)2222abababab22【变形】:①ab≤()≤(当a=b时,()ab)2222abab2【注意】:ab≤(a,bR),ab≤()(a,bR)222、均值不等式:两个正数a、b的调和平均数、几何平均

80、数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”2222ababab≤ab≤≤(当且仅当ab时取“”)11ab22ab*.若x0,则x12(当且仅当x1时取“=”);x1若x0,则x2(当且仅当x1时取“=”)x111若x0,则x2即x2或x-2(当且仅当ab时取“=”)xxxab*.若ab0,则2(当且仅当ab时取“=”)baababab若ab0,则2即2或-2(当且仅当ab时取“=”)bababa3、含立方的几个重要不等式(a、b、c为正数):333abc≥3abc(abc0等式即可成立,abc或a

81、bc0时取等);abc3333abc3abcabc≤abc≤()≤333*不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当ab0时,22babaab2ab同时除以ab得2或11。abab2a*a,b,均为正数,2abb2222ababab2ab2八种变式:①ab;②ab();③()2222222a114④ab2(ab);⑤若b>0,则2ab;⑥a>0,b>0,则;babab112411111)2⑦若a>0,b>0,则();⑧若ab0,则()。22ababab2ab上述八个不等式中等号成立的条件都是“ab”。Word文档`最值定

82、理(积定和最小)①x,y0,由xy≥2xy,若积xyP(定值),则当xy时和xy有最小值2p;(和定积最大)12②x,y0,由xy≥2xy,若和xyS(定值),则当xy是积xy有最大值s.422【推广】:已知x,yR,则有(xy)(xy)2xy.(1)若积xy是定值,则当

83、xy

84、最大时,

85、xy

86、最大;当

87、xy

88、最小时,

89、xy

90、最小.(2)若和

91、xy

92、是定值,则当

93、xy

94、最大时,

95、xy

96、最小;当

97、xy

98、最小时,

99、xy

100、最大.③已知a,x,b,yR,若axby1,则有则的最小值为:1111byax2(axby)()ab≥ab2ab(ab

101、)xyxyxy④已知,若则和的最小值为:①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”:⑴凑系数(乘、除变量系数).例1.当0x4时,求函的数yx(82x)最大值.51⑵凑项(加、减常数项):例2.已知x,求函数f(x)4x2的最大值.44x52x7x10⑶调整分子:例3.求函数f(x)(x1)的值域;x122ababab⑷变用公式:基本不等式ab有几个常用变形,,222a2b2ab()2不易想到,应重视;22152x152x(x的最大值;例4.求函数y)22216⑸连用公式:例5.已知ab0,求ya的最小值;b(ab)lny⑹对数变

102、换:例6.已知x1,y1,且xye,求t(2x)的最大值;2⑺三角变换:例7.已知0y≤x,且tanx3tany,求txy的最大值;211⑻常数代换(逆用条件):例8.已知a0,b0,且a2b1,求t的最小值.abWord文档`“单调

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