9铁磁体与自旋波

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1、§9铁磁体与自旋波自然界中有若干物质呈现铁磁性，随着温度的降低，顺磁性突然变成铁磁性，即在无外场时，物质也有自吸磁性。对于独立的磁矩集合，不可能出现相变。出现铁磁相变说明微观磁矩间存在相互作用。周期表中所有的元素的s电子与p电子都与铁磁相变无关。因而铁磁性集中在第一长周期的3d过渡元素铁族以及其后的4d，还有镧系稀土元素4f壳层，因为d电子与4f电子是比较局域的。由于晶体势的存在，过渡元素的轨道角动量被淬灭，原因是晶体势破坏了转动对称性，角动量不再守恒，Hamiltom量按重要性排列H=Hcoul+Hcry+Hs-o+Hze

2、eman在晶体势的作用下，电子态应按晶体对称性的不可约表示来划分，把后两项作为微观计算的修正值，轨道角动量的一阶贡献为零。因而其作用消失。下面采用Heisenberg模型考察一两个粒子的体系，其自旋都为1/2，自旋态有两类：三重态：S=1(Trinlet)(9.1)单态：S=0(Singlet)(9.2)ETECES能量E0(9.3)(9.4)其中(9.5)能级也可用自旋态等价表示，注意到可将能量写成记，，并略去常数项K，则等效的Hamiltom量表为：(9.6)推广到多个粒子(9.7)其中，重复计算一次，应乘1/2，去掉了

3、因子2。为了避免正交化的困难，可采用局域的Wannier表象，相互作用项表为：(9.8)由于Wannier函数的局域性，矩阵元中最重要的项为它称为交换作用，舍去其它非对角项的贡献，交换能(9.9)其中仍忽略了粒子数不同的态之间的耦合，即取，。在二项量子化的形式下，自旋算符：(9.10)可得(取表象)(9.11)同样(9.12)(9.13)设每个态都是占据的(是占有数密度，必然事件)[每个带及每个格点都占据(一个电子)，理解为态上的总粒子数算符(总共可占据两个粒子)](9.14)则由9.11、9.14得：(9.15)(9.16

4、)代入9.9得：(9.17)此即Heisenberg相互作用形式，注意：(9.18)交换积分实际上是库仑作用的一部分，起源于泡利原理，因而是一种量子效应。自旋波在铁磁态下自旋自发有序化，绝对零度下体系处于基态，所有的自旋相互平行，在外场激发下一部分自旋可以反转其方向，这是单粒子激发态。由于自旋间存在相互作用，还存在低能量的集体激发态，在长波极限下，其能量趋向基态值，这是对称破缺引起的普遍的Goldstone玻色子的一个典型例子。微观理论从海森堡相互作用出发：(9.19)角动量算符有普遍的对易关系：(9.20)当S=1/2时，

5、更有：(9.21)因而(9.22)于是(9.23)（上式第二项中求和时将项除掉）其中(9.24)并忽略了四项算符，他描述反转的自旋间的相互作用。对于低激发态反转的自旋数量是少的，因而可以忽略这一项。取自发有序的方向为z轴向下的方向，则基态所有的自旋取向向下，即：对一切(9.25)按9.23式：(9.26)其中基态能量(9.27)于是9.23式成为：(9.28)和晶格振动一样，可以用波动模式使之对角化，定义(9.29)逆变换为(9.30)代入9.28式，得到对角化的形式：(9.31)其中(9.32)注意，求和后与m无关。9.3

6、1的形式是熟知的，如果是玻色算符，则基态满足：(9.33)激发态(9.34)激发态的能量为(9.35)这就是量子化的自旋波理论，空间的自旋态受到相角的调制，与经典图像相当，但能量是不连续的，每一份能量是一个玻色子，称为等离激元(magnon)。但是，并非严格的玻色子。(9.36)得不到Kronecker符号，然而对于基态(9.37)对于激发态，即，则(9.38)可见可近似看作玻色算符。对于最近邻相互作用的晶格。(9.39)接9.32，(9.40)当时，，换句话说，自旋波的能谱与基态之间无能隙，可以与单粒子激发态的能量(9.4

7、1)比较，可见具体模式确实是低激发态，各个自旋在集体激发相对基态作小的偏移，直接计算得：(9.42)它与经典的拉莫旋进相当。Holstein-Primakeff于1940年用严格的玻色算符来表示自旋算符，设是玻色算符，定义则易证自旋算符的关系式仍然满足从定义可看出，的期待值应小于1，即只适用于低激发态，附加下标，则然后转至动量空间，使二次阶对角化。因此，自旋体系相当于耦合的简振子，非谐项是由算符性质引起的，称为运动学相互作用(KinelicInteraction)，以别于9.23的动学相互作用(DynamicalIntera

8、ction)，即四个自旋算符项。