一轮复习定积分教案

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1、第三讲定积分与微积分基本定理一．基础知识梳理1.定积分的概念：1、定积分概念定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.注：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；　（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.2.定积分性质（1）；（2）（3）3.微积分基本

2、定理一般地，如果是在上有定义的连续函数，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.4、常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7）5、定积分的几何意义　　设函数在区间上连续.　　在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；　　在上，当既取正值又取负值时，定积

3、分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.　　　　　　　　　　　　　　56、应用定积分求曲边梯形的面积　（1）如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线围成的曲边梯形的面积　　　　　　　（2）如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）如图，由曲线，及直线，围成图形的面积公式为：.　　　　　注：利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画

4、出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.7、利用定积分解决物理问题　①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.　②变力作功　物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.二、典型例题题型一定积分的定义将和式的极限表示成定积分（B）A．B．C．D．题型二、微积分基本定理求定积分1、计算下列定积分的值（1）；（2）；（3）（4）（）（

5、1）；（2）；（3）2．=（C）（）A．21B22C23D243.赢在高考第51页例25题型三、用定积分求面积yxo122--1-1ABCD例1图1、如图，求由两条曲线，及直线y=-1所围成图形的面积．解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．由得C（1，-1）．同理得D（2，-1）．∴所求图形的面积S=．例2图A2、如图，抛物线C1：y=-x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为，求直线l的方程．解：设过原点的直线方程为y=

6、kx，解方程组，得x1=0，x2=k+2a．当k+2a≥0时，．于是(k+2a)3=27a3，解得k=a．所以，直线l的方程为y=ax．当k+2a<0时，．于是-(k+2a)3=27a3，解得k=-5a．所以，直线l的方程为y=-5ax．综上所述，所求直线l的方程为y=ax或y=-5ax．4、如图，抛物线与直线y＝3x的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从A向B运动。  （1）求使的面积为最大时P点的坐标；（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分.1）；（2）面积均为。题型四、定积

7、分的实际应用1．一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．解：物体的速度．媒质阻力，其中k为比例常数，k>0．当x=0时，t=0；当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为2．设某物体一天的温度T是时间t的函数，T(t)=at3+bt2+ct+d(a≠0)，其中温度的单位是，时间的单位是小时，t=0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后．若测得该物体在8∶00的温度为8，12∶00的温度为60，13∶00的温度

8、为58，且已知该物体的温度在8∶00和16∶00有相同的变化率．（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；5（2）该物体在10∶00到14∶00这段时间中（包括10∶00和14∶00），何时温度最高？并求出最高温度；（3）如果规定一个函数在上函数值的平均值为，求该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度．解：（1）根据条件可得T（0）=60，T（-4）=8，T