空间向量及其运算(VI)

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1、空间向量及其运算1.空间向量的有关概念（1）向量：空间中，具有大小和方向的量.（2）表示法：几何表示—有向线段代数表示—（3）向量相等：同向且等长的有向线段表示同一向量（4）向量的平移：空间任意两个向量都可用同一平面的两条有向线段表示2.空间向量的运算（1）向量的加法：向量的平行四边形法则或三角形法则在空间仍然成立；首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零.推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形

2、法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律ABCDABCDABCDABCDA1B1C1D1CABDba平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律ababab+OABbCa(k>0)ka(k<0)k空间向量的数乘空间向量的加减法K=0?0abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉

3、及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法结合律成立吗？加法结合律：abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+（2）向量的减法：向量减法可看成是向量加法的运算（3）数乘向量：设R，则（4）向量加法满足交换律、结合律和数乘的分配律.3.平行

4、六面体：平行四边形ABCD平移向量到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体；每面边称棱.例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1GM始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。

5、ABCDA1B1C1D1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1ABMCGD练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简ABMCGD(2)原式练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律小结加法交换律数乘分配律加

6、法结合律类比思想数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？4.共线向量和共面向量（1）共线向量：如果表示向量的有向线段所在直线是平行或重合的，则称这些向量是共线向量或平行向量，记作：（2）共线向量定理：（3）共线向量定理推论：OBAPla（4）共面向量定义：把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.空间中任两个向量是共面的，但空间任三个向量不一定共面.（5）共面向量定理（

7、6）共面向量定理的推论MAA’B’BabpPO平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量,存在唯一一对实数1,2,使—叫做向量关于基底的分解式.我们把不共线的向量叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底.记作：5.空间向量分解定理5.空间向量基本定理（2）空间中的任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.（3）零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向