空间向量及其加减法

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1、空间向量及其加减法与数乘运算莆田科技学校童斌复习回顾：平面向量1、定义：既有大小又有方向的量叫做向量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则向量减法的三角形法则a－ba＋ba(k>0)ka(k<0)k向量的数乘aaABbCaABbDCaABbCa＋b3、平面向量的加法、减法与数乘运算律加法交换律：加法结合律：数乘分配律：推广:（1）首尾相接的若干

2、向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。新课讲授阅读教材P26，研究空间向量与平面向量的关系,回答下面的问题：（1）试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？（2）如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？（3）空间任意两个向量是否都可以将它们平移到同一个平面当中？（4）把平面向量的运算推广到空间向量，怎么定义空间向量的加法，减法及数乘向量运算？（5）空间向量的运算律有哪些？（6）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?在空间，具有大小和方向的量叫做

3、向量；用有向线段表示；并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。（1）试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？ABCD（2）如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？因为空间的一个“平移”有大小和方向，所以是一个向量。例如：“平行四边形ABCD自西向东平移4个单位长度”到达A1B1C1D1的位置。DCABC1D1B1A1这个“平移”就是一个向量。=“自西向东平移4个单位长度”（3）空间任意两个向量是否都可以将它们平移到同一个平面当中？由O、A、B、三点确定一个平面或共线可知，已知空间两个任意向量、作OAB空间任意两个向

4、量都可用同一平面内的有向线段表示。ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？OACB（4）与平面向量运算一样，我们定义空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：（5）同样，空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：abcOBCab+abcOBCbc+(平面向量)（6）平面向量加法结合律：ab+c+()ab+

5、c+()AAabcOABCab+abcOABCbc+（6）空间向量加法结合律：(空间向量)ab+c+()ab+c+()例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1M(4)设M是线段CC1的中点,则(3)设G是线段AC1的三等分点,则GABMCGD练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大

6、小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律小结加法交换律数乘分配律加法结合律类比思想数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零作业P36习题９.５第１题再见