空间向量及其计算

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1、§9.5　空间向量及其运算（二）教学目标：㈠知识目标：⒈共线或平行向量的概念；　　　　　　⒉共线向量定理及其推论；　　　　　　⒊空间直线的向量参数方程、线段中点的向量公式．㈡能力目标：⒈了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；　　　　　　⒉理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程和线段中　　　　　　　点的向量公式；　　　　　　⒊会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．㈢德育目标：认识平面与空间之间的关系，了解将空间问题转化为平面问题的思想，　　　　　　初步了解向量工具在立体几何中

2、的应用，从而丰富思维结构，提高运用　　　　　　数学的能力．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学难点：对空间直线的向量参数方程及线段中点的向量公式的理解与运用．教学方法：讲授法．教具准备：多媒体投影．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］上节课，我们学习了空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律．通过学习我们知道，事实上空间向量的许多内容就是平面向量相关内容的推广．在第五章《平面向量》一章，我们还学习了有关平面向量的其它知识，比如说我们在研究两

3、个向量之间的关系时，除了定义了相等的向量，还专门对平行向量或共线向量进行了研究，请同学们回顾一下怎样的向量称为平行向量或共线向量呢？［生］方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．［师］怎样判定向量b与非零向量a是否为共线向量呢？［生］向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.［师］这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a的非零要求．对这个定理的证明要从两个方面进行：⑴充分性：对于向量a（a≠

4、0）、b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知，a与b共线．⑵必要性：若向量a与b共线，a≠0时，设｜b｜:｜a｜＝μ，则当a与b方向相同时，b＝μa；当a与b方向相反时，b＝－μa．所以，有且只有一个实数λ，使b＝λa.［师］这节课我们将要对空间的共线向量以及共面向量加以研究．下面同学们先阅读课本P28～P29前5行．Ⅱ.新课讲授［师］怎样的空间向量叫做共线向量呢？［生］与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

5、a平行于b记作a//b．［师］和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样，空间向量共线（平行）的定义也是平面向量相关知识的推广．当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．关于空间共线向量有什么结论呢？［生］关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.推论：如果l为经过已知

6、点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式a．其中向量a叫做直线l的方向向量.[师]由于空间中任意两个向量都是共面的，所以上述定理和推论仍然是平面向量有关定理的推广，因此它们的证明只是需要先确定一个平面，转化为平面向量问题即可．（例如定理必要性的证明）推论证明如下：∵　l//a∴　对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得a．(*)又∵　对于空间任意一点O，有，　∴　aa．①若在l上取a，则有．(**)又∵∴．②　当时，．③［师］⑴表达式①

7、和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．⑶推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．Ⅲ.课堂练习《基础训练》Ⅳ.课时小结　空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，都是平面向量相关知识的推广．Ⅴ.课后作业预习课本P29～P30，预习提纲：⒈什么叫做平面向量基本定理？⒉怎样的向量叫做共面向量？为什么说空间任意两个向量都

8、是共面的？空间中任意三个向量也是共面的吗？⒊怎样证明共面向量定理？平面向量表示是有什么作用？