离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄

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1、第三章离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法连续时间非周期信号的傅里叶变换为域连续性周期性时域连续非周期频域连续非周期傅里叶变换2傅里叶级数当x(t)为连续时间周期信号时，可展开为傅里叶级数域连续性周期性时域连续周期频域离散非周期3对离散序列x(n)，其傅里叶变换为若x(n)是信号x(t)的采样序列，采样间隔为T,则有：序列的傅里叶变换4域连续性周期性时域离散非周期频域连续周期5上述三种情况至少在一个变换域有积分(连续)，因而不适合进行数字计算。域连续性周期性时域离散周期频域离散周期时域的离散造

2、成频域的延拓（周期性）。根据对偶性，频域的离散也会造成时域的延拓（周期性）。离散傅里叶变换6对序列的傅里叶变换在频域上加以离散化，令从而7x(n)8四种形式归纳类型时间函数频率函数关系傅里叶变换连续非周期连续非周期傅里叶级数连续周期(T0)离散(Ω0)非周期序列傅里叶变换离散(Ts)非周期连续周期(Ωs)离散傅里叶变换离散(Ts)周期(T0)离散(Ω0)周期(Ωs)9傅里叶变换是以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函数之间的某种变换关系。离散傅里叶变换（DFT）则建立离散时域与离散

3、频域之间的关系。DFT是分析有限长序列的有用工具，在各种信号的处理中起着核心作用。FFT的出现使DFT对信号处理的发展起了巨大的推动作用。DFT的实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，是使得频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行。离散傅里叶（DFT）变换的重要性10从傅里叶变换到离散傅里叶变换，及其应用要解决两个问题：离散与量化，快速运算。DFT是现代信号处理桥梁傅氏变换频域离散量化DFT(FFT)信号处理113.1离散傅里叶变换的定义3.1.1DFT的定义设x（n）是

4、一个长度为M的有限长序列，x（n）的N点傅里叶变换：N称为DFT变换区间长度，令，记作旋转因子傅里叶变换与逆变换对为：12例3.1.1分别计算序列的8点、16点DFT解:8点DFT16点DFT13是在频率区间上的等间隔采样。14一.预备知识如果，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。是的解，或称作取余数，或说作n对N取模值，或简称为取模值，n模N。15例如：(1)(2)163.1.2DFT与DFS、ZT、FT之间的关系1.DFT与DFS之间的关系有限长序列周期序列主值区间序列是主

5、值区间序列171819周期序列与有限长序列X(k)的关系同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。20周期序列的DFS有限长序列的DFT是的主值区间序列，成立条件N≥M21DFSDFT22DFT与DFS之间的关系:有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列　　的DFS系数　　　的主值序列23DFS与FT之间的关系:周期延拓序列的频谱特性由傅里叶级数的系数确定，幅度相差一个常数因子DFT:是的主值区间序列，因此能表示周期序列的频

6、谱特性，即DFT能够描述FT的特征242.DFT与FT、ZT之间的关系有限长序列DFT与ZT、FT、DFS25DFT与z变换X(ejω)X(k)o1234567(N-1)k=0DFT与DTFT变换序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样；X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。26例：解：273.1.3DFT的矩阵方程表示（1）283.1.3DFT的矩阵方程表示（2）IDFT的矩阵表示29小结DFT引入的目的DFT的定义DFT与

7、DFS、ZT、FT之间的关系DFT、IDFT的计算DFT的矩阵表示303.2离散傅里叶变换（DFT）的主要性质1．线性性质设x1(n)，x2(n)为有限长序列，长度分别为它们的离散付里叶变换分别为若则32和的长度N1和N2不等时，选择为变换长度,短者进行补零达到N点。332.DFT的隐含周期性由于所以X(k)满足：物理意义：X(k)为在区间上的N点等间隔采样。以2π为周期，X(k)以N为周期。343.循环移位性质循环移位:有限长序列x(n),序列长度为M，对序列进行周期延拓，周期N≥Mx(n)

8、的循环移位序列：左移m个单位，取主值序列循环移位序列的DFT与原序列x(n)的DFT有何关系？35-5-4-3-2-1012345678901234-5-4-3-2-101234567890123436圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:。3712345n=0N=6循环移位序列的