第2章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)ppt课件.ppt

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1、第2章离散傅里叶变换及其快速算法成都理工大学工程技术学院2.1离散傅里叶变换DFT模拟域FT、LT数字域DTFT、ZT时间域t:连续频率域Ω、s:连续时间域n:离散频率域ω、z：连续？离散序列如何得到离散的频域特性离散傅立叶变换（DFT）实现了信号在频域特性的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程学习的一大重点。2.1离散傅里叶变换DFT2.1.1离散傅里叶级数DFS连续非周期离散周期信号特性的时频

2、域对应关系周期离散2.1.1离散傅里叶级数DFS？如何对周期为N的周期序列进行频域分析……如：周期序列不能进行Z变换，因为其在n=-到+都周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域，所以其DTFT亦不存在。但是，如同连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。电信系信息技术教研室周期为N的正弦序列其基频成分为：K次谐波序列为：但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数不同。一、DFS的定义电信系信息技术教研室将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个

3、周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数。1）也是一个由N个独立谐波分量组成的傅立叶级数2）为周期序列，周期为N小结：DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。DFS[·]——离散傅里叶级数变换IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。例：求出下面周期序列的DFS表示式解：上述序列的基本周期为N=4，因而W4=e-j2π/4=-j，假设都是周期为N的两

4、个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：1）线性设a,b为任意常数二、DFS的性质电信系信息技术教研室2）序列移位证：因为及都是以N为周期的函数，所以有3）共轭对称性对于复序列，其共轭序列为，则：进一步可得：共轭奇对称分量4）周期卷积这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即m=0~N-1），称为周期卷积。由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式。0N-Nm0N-Nm0N-Nm0N-Nm（1）x1(n)和x2(n)是周期的。（2）求和范围为一个周期（3）周期序列周期卷

5、积后，序列的长度仍然是周期的；位置保持不变序列的线性卷积与周期卷积的几点区别：线性卷积的求和对参与卷积的两个序列无任何要求，而周期卷积要求两个序列是周期相同的周期序列。线性卷积的求和范围由两个序列的长度和所在的区间决定，而周期卷积的求和范围是一个周期N。线性卷积所得序列的长度(M+N-1)由参与卷积的两个序列的长度确定，而周期卷积的结果仍是周期序列，且周期与原来的两个序列周期相同。周期卷积等同于两个周期序列在一个周期上的线性卷积计算。解：例：已知序列x1(n)=R4(n)，x2(n)=(n+1)R5(n)，分别将序列以周期为N=6拓展成

6、周期序列，求两个周期序列的周期卷积和。1545122.1.2离散傅里叶变换DFT设序列x(n)有效长度为M，定义x(n)的N点DFT为式中，N称为离散傅里叶变换区间长度，要求N≥M。为书写简单，令，因此通常将N点DFT表示为定义X(k)的N点离散傅里叶逆变换(IDFT)为长度为N的离散序列一、DFT的定义电信系信息技术教研室二、DFT与ZT、DTFT、DFS的关系DFT有明确的物理意义，我们可以通过比较序列的DFT、DTFT、ZT，并将DFT与周期序列的DFS联系起来，得到DFT的物理意义。1.DFT和DTFT、ZT之间的关系假设序列的

7、长度为M，N≥M将N点DFT和DTFT、ZT的定义重写如下比较前面三式，得到，k=0,1,2,…,N-1，k=0,1,2,…,N-1DFT与z变换X(ejω)X(k)o1234567(N-1)k=0DFT与DTFT变换序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样；X(k)为x(n)的傅立叶变换在区间上的N点等间隔采样。结论：电信系信息技术教研室解:x(n)的8点DFT为x(n)的16点DFT为例：，分别计算x(n)的8点、16点DFT。是在频率区间上的等间隔采样2.DFT和DFS之间的关系：周期延拓取主值有限长序

8、列周期序列主值区序列有限长序列周期序列主值区间序列周期序列的DFS:有限长序列的DFT:对比二者发现：是的主值区序列，条件N≥MDFSDFTDFT与DFS之间的关系总结DFT引用了DFS的结论，隐含着周期性