第4章二元关系

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1、第4章关系4.1序偶与笛卡儿积4.2二元关系及其表示法4.3关系的运算4.4关系的性质4.5关系的闭包运算4.6等价关系与等价类4.7次序关系习题44.1序偶与笛卡儿积4.1.1序偶与有序n元组在数学中,我们常常会遇到用两个有顺序的元素组成的元素对来表示其他元素的问题。在集合论中,由两个有顺序的元素组成的元素对叫序偶。其定义如下:定义4.1.1由两个元素a,b（允许a=b）组成的序列叫做有序二元组,简称为序偶。其中a称作序偶的第一元素,b称作序偶的第二元素。例平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个序偶。注:1、有序偶是讲究

2、次序的；例<1,3>和<3,1>是表示平面上两个不同的点,这与集合不同,{1,3}和{3,1}是两个相等的集合。2、允许的，而{x,x}={x}.性质1:如xy则。性质2:=的充要条件是x=a,y=b.序偶的概念可以进一步推广到有序n元组的情况。定义4.1.2n个元素a1,a2,…,an组成的序列叫做有序n元组。其中ai(i＝1,2,…,n)叫做有序n元组的第i个元素。本质上,n元有序组依然是序偶。性质3：=,当

3、且仅当ai＝bi（i＝1,2,…,n）。一个序偶的两个元素可来自不同的集合，若第一元素取自集合A,第二元素取自集合B，则由A、B中的元素，可得若干个序偶，这些序偶构成的集合，描绘出集合A与B的一种特征，称为笛卡儿乘积。其具体定义如下：4.1.2笛卡儿积定义4.1.3若有两个集合A和B,则由A中元素作为第1元素,B中元素作为第２元素而构成的所有序偶的集合叫做集合A到集合B的笛卡儿积,记为A×B,读作“A叉乘B”。即A×B＝｛

4、a∈A∧b∈B｝【例4.1.1】已知A＝｛1,2,3｝,B＝｛a,b｝,求A×B,B×A,A

5、2,B2。解A×B＝｛<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>｝B×A＝｛,,,,,｝A2＝｛<1,1>,<1,<2>,<1,3>,<2,1>,<2,<2>,<2,3>,<3,1>,<3,<2>,<3,3>｝B2＝｛,,,｝显然A×B与B×A所含元素的个数相同，但A×B≠B×A。定理4.1.1若A,B是两个有限集合,则

6、A×B

7、＝

8、A

9、·

10、B

11、。该定理由排列组合的知识不难证明。如在例1中,

12、A

13、＝3,

14、B

15、

16、＝2,故

17、A×B

18、＝3×2＝6

19、B×A

20、＝2×3＝6

21、A2

22、＝3×3＝9

23、B2

24、＝2×2＝4定义4.1.4若有n个集合A1,A2,…,An,则定义集合A1,A2,…,An的笛卡儿积A1×A2×…×An为A1×A2×…×An＝｛

25、ai∈Ai,i＝1,2,…,n｝当A1＝A2＝…＝An＝A时,A1×A2×…×An简记为An。定理4.1.2对任意有限集合A1，A2,…，An，有

26、A1×A2×…×An

27、＝

28、A1

29、·…·

30、An

31、(·为数乘运算)这是十分直观的，可用归纳法证明之。笛尔儿积的性质：性质1：对于任意集合A，A

32、=，A=性质2：笛卡尔积运算不满足交换律，当A，B，AB时AB=BA性质3：笛卡儿运算不满足结合律，即当A，B，C均非空时（AB）CA（BC）因（ABC={<,c>)aA,bB,cC}A(BC)={>aA,bB,cC}作业1、设集合A={1，2}求P（A）A2、证明A（BC）=（AB）（AC）4.2关系及表示本章将研究集合内元素之间的关联以及集合之间元素的关联，这就是关系。4.2.1关系的概念关系是客观世界存在的普遍现象，它描述了事物之间存在

33、的某种联系。例如，人类集合中的父子、兄弟、同学、同乡等，两个实数间的大于、小于、等于关系，集合中二直线的平行、垂直等等，集合间的包含，元素与集合的属于……都是关系在各个领域中的具体表现。表述两个个体之间的关系，称为二元关系；表示三个以上个体之间的关系，称为多元关系。我们主要讨论二元关系。关系并不限于同一类事物之间，也存在于不同物体之间。如旅客住店，张、王、李、赵四人，1，2，3号房间，张住1号，李住1号，王住2号，赵住3号。若分别以a,b，c,d表示四人，R表示住宿关系，则有R={,,,}。因此我

34、们看到住宿关系R是序偶的集合。定义4.2.1设有两个集合A和B,其笛卡儿积A×B的任意一个子集R称为集合A到集合B的一个二元关系,简称为关系。若∈R,则称a与b有关系R,记为aRb;若