2012考研数学讲义75

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1、考研数学讲（75）条件概率寻常事在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率。记为P（A∣B），且定义P（A∣B）=P(AB）∕P（B），P（B）＞0人们通常会用两种方式来表示整体与部分的关系。或者用实在数据；或者把整体视为1，用比例来表示部分。在可以用“文氏图”示意的情形，不太严格地说，样本空间及事件就是具体实在，相应概率就好比是“比例”描述。条件概率则是把概率P（B）作为新的总体1，计算P（AB）相对所占的“比例”。在古典概率情形，这个比方尤其直观。若事件A含于B，即AB=A，P（A∣B

2、）=P(AB）∕P(B)=P(A)∕P(B)若事件A与B互斥，即AB=Φ（空集），P(AB）=0，P（A∣B）=0若事件A与B相互独立，P(AB)=P(A)P(B)，则P（B）＞0时P（A∣B）=P(AB）∕P（B）=P(A)P(B)∕P（B）=P(A)，条件概率的定义在这时正好显示，从逻辑上看，事件A与B相互独立，本质上是发生与否，互不影响，彼此无关。而事件A与B互斥，却是一个特定关系。“两个事件能否既互斥又相互独立？”由上述可知，从逻辑上看是不可能的。从概率上看，若两个事件的概率都不为0，则

3、也是不可能的。在建模实践中，为了简单起见，在不少场合选择了相互独立的最佳状态。比如，射击运动员连续射击多发子弹；乒乓球运动员连续比赛若干局，……，等等；都假设各次射击，各局比赛相互独立。构成n重贝努里概型。在实际问题中，有时能简便地直接按照实际状况算得条件概率。比如摸球模型。袋中有20个红球10个黑球，如果每次摸出一球，然后放回去再摸第二次，若以摸出红球为成功，p=2/3，各次摸球相互独立，就构成n重贝努里概型。如果第一次摸得红球而不放回去，第二次摸得黑球的概率就是条件概率。这时由实际数据能直接

4、算得P（第二次摸得黑球∣第一次摸得红球）=10/29P(AB）=P（第一次摸得红球，第二次摸得黑球）=P（B）P（A∣B）=P（第一次摸得红球）·P（第二次摸得黑球∣第一次摸得红球）=20/87用二维模型才能更好地理解这个交事件的概率。先后两次摸球（第一次不放回）的基本点有：（红，红），380个；（红，黑），200个；（黑，红），200个；（黑，黑），90个；共计870个。所以P（红，黑）=有利点数∕基本点总数=20/87“随机向量事件”概率定义的内核是“交事件的概率”。可以从这里开始体验。 例

5、20A，B是两个随机事件，且B发生则A必定发生。则下列式子中正确的是 （A）P(A+B）=P（A）（B）P(AB）=P（A） （C）P（B∣A）=P（B）（D）P(B－A）=P（B）－P（A）分析事件B发生则A必定发生，说明A包含B，而A+B就是A；也表明B－A是不可能事件；AB=B；故（B）（D）错。应选（A）。（C）错，是因为此时有P（B∣A）=P（B）∕P（A） 例21已知0＜P(B)＜1，且P(A1+A2∣B)=P(A1∣B)+P(A2∣B)，则有            (A)P(A1+

6、A2∣Bˉ)=P(A1∣Bˉ)+P(A2∣Bˉ)(B)P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)            (C)P(A1+A2)=P(A1∣B)+P(A2∣B)(D) P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)分析老老实实按照条件概率的定义重写已知条件。得P((A1+A2)B)∕P（B）=P(A1B)∕P（B）+P(A2B)∕P（B）去分母后，刚好是（B）。即A1B和A2B互斥 例22A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B∣A)=P(

7、B∣Aˉ)则必有(A)P(A∣B)=P(Aˉ∣B)(B) P(A∣B)≠P(Aˉ∣B)(C)P(AB）=P(A)P(B)(D)P(AB）≠P(A)P(B)分析首先用条件概率定义转换已知的条件概率等式P(BA)∕P（A）=P(BAˉ)∕P（Aˉ）即P（Aˉ）P(BA)=P（A）P(BAˉ)即(1－P（A）)P(BA)=P（A）P(BAˉ)移项化简，即P(BA)=P（A）(P(BA)+P(BAˉ))=P(A)P(B)其中，事件B=BA+BAˉ是B的互斥分解。应选（C）（画外音：已知条件保证了事件A与

8、B相互独立。有这样的习题:“若0＜P(A)＜1，试证明事件A与B相互独立的充分必要条件是P(B∣A)=P(B∣Aˉ)”事实上，上例分析中的算式是可以逆反的。） 例23已知0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A∣B)+P(Aˉ∣Bˉ)=1，则(A)事件A和B互不相容。（B）事件A和B互相对立。（C）事件A和B互不独立。（D事件A和B相互独立。分析先用条件概率定义重写已知的条件概率等式，再两端同乘以P(B)P(Bˉ),得P(Bˉ)P(AB)+P(B)P(AˉBˉ)=P(B)P(Bˉ)因为是关于A