2011数学解析

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1、2011年华约试题解析一、选择题(1)解：由得，已经转化为一个实数的方程。解得z=2（舍去），。(2)[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。如图建立坐标系zONMDCBAPyx，则A(1，-1，

2、0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，)，则，。设所成的角为θ，则。解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。平移DM与AN在一起。即M移到N，D移到CD的中点Q。于是QN=DM=AN。而PA=PB=AB=2，所以QN=AN=，而AQ=，容易算出等腰ΔAQN的顶角。解法三：也可以平移AN与DM在一起。即A移到M，N移到PN的中点Q。以下略。NMDCBAPQ(3)此题有误，原题丢了，待重新找找。(4)[分析]首先尽可能化简结论中的表达式

3、，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。解：，可见答案是B（5）[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔOO1O2边O1O2上一点C，OO1、OO2延长线上分别一点A、B，使得O1A=O1C，O2B=O2C。解法一：连接，C在上，则，，，故，，。解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则，，，。(6)[分析]已知平面过A，再知道它的方向，就

4、可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线。答案是4个。(7)解：由得由于，可以用换元法的思想，看成关于x，y+z，y-z三个变量，变形，代入，答案B(8)解法一：焦点F（1，0），C（-1，0），AB方程y=x–1，与抛物线方程y2=4x联立，解得，于是，，答案A解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD=45°，EF∥DA，E

5、F=2，AF=AD，BF=BC，求∠AEB。BGCEDAF。类似的，有，，，答案A（9）解：，，，于是。将，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须，于是，解这个一元函数的极值问题，时取极大值。(10)解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角。事实上，∠D≥∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC=180°-∠B，所以∠D为钝角。这样就排除了

6、B，C。FEDBCA下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。DBCA假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC)ΔACD，则∠D=180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。一、解答题（11）解：（I），整理得（II）由已知，与（I）比较知。又，，，而，，代入得，，，（12）解：不妨设水杯高为1。（I）这时，水杯质量：水的质量=2：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯

7、底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为(II)当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时，水杯质量：水的质量=a：x。水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是，解得（13）解：由(I)先求出，猜想。用数学归纳法证明。当n=1显然成立；假设n=k显然成立，即，则，得证。(II)我们证明。事实上，。我们注意到，于是（14）FEPF12aP2cF22x解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔPF1F2中，，E为PF1上一点，PE=PF2，EF

8、1=2a，F1F2=2c，求。设PE=PF2=EF2=x，FF2=，，。ΔEF1F2为等腰三角形，，于是，