配位化学第三章线性代数及群论基础

《配位化学第三章线性代数及群论基础》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§3、线性代数及群论基础§3.1.线性代数基础选讲§3.2.群论基础§3.3.群论应用举例1§3.1.线性代数基础选讲什么是线性代数？线性（linear），指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。线性代数（LinearAlgebra）是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。2线性代数主要内容：１、行列式２、矩阵（本课介绍）３、向量组的相关性、矩阵的秩４、线

2、性方程组５、相似矩阵与二次型3在解析几何中，如图1把向量OP=(x，y)变为另一个向量OP’=(x’，y’)或把点P(x，y)变为另一个点P’(x’，y’)，即在平面上绕原点O做角度α的旋转变换，此时新变量(x’，y’)与旧变量的关系为：X’=Xcosa+YsinaY’=-Xsina+Ycosa(1)αP(x，y)P’(x’，y’)XYZ图11.线性变换和线性变换的矩阵O这种把新变量经由旧变量线性表出，变量的这种代换通常称为线性变换。42.线性变换定义定义1:把新变量Y1，Y2…Ym用旧变量X1，X2…Xn齐次线性表出的代换:Y2=a21x1+a22x2+……+a2

3、nxnY1=a11x1+a12x2+……+a1nxnYm=am1x1+am2x2+……+amnxn(2)……称为把变量X1，X2…Xn换位新变量Y1，Y2…Ym的线性变换，其中aij（i=1,2…m;j=1,2…n)是数。5把线性变换（2）的系数aij按原有的相对位置排成一个表就得一个m行n列的矩阵，称为线性变换（2）的矩阵。a11a12……a1na21a22……a2nam1am2……amn(3)........6定义2mn个数所排成的m行n列的表（3）称为一个m行n列的矩阵（简称m×n型矩阵），横的各排称为矩阵（3）的行，而纵的排列称为矩阵（3）的列。Aij称为矩

4、阵（3）的第i行第j列的元素，或矩阵（3）的（ij）元素。通常用A代表矩阵（3），也可以把矩阵（3）记作（aij）或（aij）m×n或Am×n，特别如果m=n，则称（3）为n级方阵或n级矩阵。7必须指出从矩阵与行列式的记号外表来看，它们是很类似的，但它们是两个完全不同的概念。一般的说行列式是一个数量，只是为了方便，才把它写成正方阵列外加两条垂直线的形状，至于阵列，一般的说，它既不是数也不是一个函数，而是有某些元素所排成的矩形阵列本身。例如：A=234是一个二级矩阵，8而行列式234之值等于-2，可以说矩阵A的行列式为-2，记作∣A∣=-2.线性变换和它的矩阵是密切关

5、联着的。它们之间存在一一对应的关系。有线性变换（2）的系数唯一的确定一个m行n列的矩阵A，反之，给定了一个m行n列的矩阵A，就有唯一的一个以A为它的矩阵的线性变换（2）。9二.矩阵的乘法当在线性变换（2）之后施行线性变换即连续施行两个线性变换：Z1=b11y1+b12y2+……+b1mymZ2=b21y1+b22y2+……+b2mym……………Zp=bp1y1+bp2y2+……+bpmym（4）10或ZK=∑bkiyi(k=1,2…,p)(4’)它的对应矩阵是B=b11b12…b1mb21b22…b2m………………bp1bp2……bpmi=1m11把（2）中Y1，Y

6、2…Ym的表示式代入（4’）得到Zk=∑bki(∑aijxj)=∑(∑bkiaij)xj(5)因此，如果第一个线性变换中新变量的个数等于第二个线性变换中旧变量的个数，那么连续实行这两个线性变换的结果（简称两个线性变换的乘积）还是一个线性变换。如果用C=（Ckj）pxn代表线性变换（2）与（4）的乘积变换的矩阵，mi=1j=1nj=1ni=1m12那么C元素Ckj就是在Zk的表示式（5）中xi的系数：Ckj=∑bkiaij=bk1a1j+bk2a2j+......+bkmamj(k=1，2…，p；j=12...，n)换句话说，矩阵c中位于第K行第j列的元素Ckj等于矩

7、阵B中第K行元素与矩阵A中第j列的对应元素的乘积之和。13例1.求矩阵B=03-12102与A=10-113201134的乘积BA。14解：因为矩阵B是二行四列的，矩阵A是四行三列的，所以乘积BA有意义，它是二行三列的矩阵。其乘积：BA=C=（cij）2×3的元素，据公式（6）有：C11=b11a11+b12a21+b13a31+b14a41=1x4+0x(-1)+3x2+(-1)x1=915C12=b11a12+b12a22+b13a32+b14a42=1x1+0x1+3x0+(-1)x3=-2C13=b11a13+b12a23+b13a33+b14a43=1