绵阳市高2014级第三次诊断性考试(理数)试题及答案

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1、绵阳市高2014级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CDABAABDDCBB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．415．12016．9三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）把(a+c)2=b2+3ac整理得，a2+c2-b2=ac，由余弦定理有cosB=，∴B=．………………………………………………………………………4分(Ⅱ)△ABC中，A+B+C=π，即B=π-(A+C)，故sinB=sin(A+C)，由已知sinB+sin(C-A)=2

2、sin2A可得sin(A+C)+sin(C-A)=2sin2A，∴sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA-cosCsinA=4sinAcosA，整理得cosAsinC=2sinAcosA．………………………………………………7分若cosA=0，则A=，于是由b=2，可得c=，此时△ABC的面积为S==．………………………………………9分若cosA≠0，则sinC=2sinA，由正弦定理可知，c=2a，代入a2+c2-b2=ac整理可得3a2=4，解得a=，进而c=，此时△ABC的面积为S==．∴综上所述，△ABC的面积为．………………

3、……………………12分18．解：(Ⅰ)补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车10020120不常使用共享单车602080合计16040200于是a=100，b=20，c=60，d=20，…………………………………………4分∴>2.072，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为10%，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，∵X~B(3，0.1)，X=0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X0123P0.72

4、90.2430.0270.001∴X的数学期望．………………………………………12分19．解：(Ⅰ)作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点．………………………………………………………2分ABCDEFNOMyxPz证明：连接PN，∵N是AD的中点，P是FE的中点，∴PN//AF，又PN平面MNC，AF平面MNC，∴直线AF平面MNC．………………5分∵PE//AD，AD//BC，∴PE//BC，∴．………………………………………………………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）知PN⊥AD，又面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD=AD，P

5、N面ADEF，所以PN⊥面ABCD．…………………………………………………………8分故PN⊥ND，PN⊥NC．………………………………………………………9分以N为空间坐标原点，ND，NC，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N-xyz，∵∠ADC=，AD=DC=2，∴△ADC为正三角形，NC=，∴N(0，0，0)，C(，0，0)，D(0，1，0)，E(0，1，1)，∴=(0，1，1)，=(，0，0)，=(0，0，1)，=(，-1，0)，设平面NEC的一个法向量n1=(x，y，z)，则由n1•=0，n1•=0可得令y=1，则n1=(0，1，-1)

6、．设平面CDE的一个法向量n2=(x1，y1，z1)，则由n2•=0，n2•=0可得令x1=1，则n2=(1，，0)．则cos==，设二面角N-CE-D的平面角为θ，则sinθ==，∴二面角N-CE-D的正弦值为．………………………………………12分20．解：(Ⅰ)由题意知，

7、ME

8、+

9、MF

10、=

11、MP

12、+

13、MF

14、=r=6>

15、EF

16、=4，故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为a=3，短半轴长为b=，∴曲线C的方程为：．…………………………………………4分(Ⅱ)由题知F(2，0)，若直线AB

17、恰好过原点，则A(-3，0)，B(3，0)，N(0，0)，∴=(-3，0)，=(5，0)，则m=，=(3，0)，=(-1，0)，则n=-3，∴m+n=．………………………………………………………………2分若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0，A(ty1+2，y1)，B(ty2+2，y2)，N(0，-)．则=(ty1+2，y1+)，=(-ty1，-y1)，=(ty2+2，y2+)，=(-ty2，-y2)，由，得y1+=m(-y1)，从而m=；由，得y2+=n(-y2)，从而n=；故m+n=+()=．……8分联立方程组得：整理得(5t2

18、+9)y2+20ty-25=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴m+n===-2-=．综上所述，m+n=．………………………