质量评价的属性数学模型和模糊数学模型_程乾生

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1、DOI:10.13860/j.cnki.sltj.1997.06.00618数理统计与管理16卷6期1997年11月方法探讨与研究质量评价的属性数学模型和模糊数学模型程乾生(北京大学数学科学学院,北京,100871)摘要程乾生.质量评价的属性数学模型和模糊数学模型.数理统计与管理,1997,16(6),18～23.本文提出了质量评价的属性数学模型。该模型由三部分组成:单指标属性测度分析,多指标综合属性测度分析,属性识别分析。我们分析了属性数学模型和模糊数学模型的差异。应用例子表明属性数学模型是更合理的。关键词:质量评价,属性数学模型,模

2、糊数学模型。一、引言设Z为某类评价对象空间(如原料、产品、企业、学校、研究机构等等)。对Z中的每一个元素x要测量m个指标I1,…,Im。对Z中元素的评价集为(C1,C2,…,CK),Ck(1≤k≤K)为质量等级或评价类。对每个指标的测量值常以数字形式出现,质量评价标准常用表1的形式表达出来,它实际上是单因素等级划分表。表1单指标等级划分表等级C1C2…CK指标I1a10-a11a11-a12…a1K-1-a1KI2a20-a21a21-a22…a2K-1-a2K……Imam0-am1am1-am2…amK-1-amK设被评判对象x的第j

3、个指标Ij的测量值为tj,因此,x可以表示为一个m维向量x=(t1,t2,…,tm)。对于单个指标值tj,可由表1确定一个级别,但对于有m个指标值的x,如何进行综合评价呢?[1-3]在属性集和属性测度的基础上,我们提出属性数学模型以解决质量评价问题。在模糊收稿日期:1997年5月11日质量评价的属性数学模型和模糊数学模型19集的基础上,文献[4]提出了模糊数学模型(见[4],PP.178—195)。我们将分析两个模型之间的差异,并用[4]中的一个例子来说明属性数学模型的合理性。二、属性数学模型我们把对Z中元素的某类评价称为属性空间或评价

4、空间F,把评价集(C1,C2,…,CK)称为属性空间或评价空间F的分割,Ck称为一个属性集或评价级别或评价类。被评判对象x具有级别Ck的大小用属性测度μxk=μ(x∈Ck)表示,x的第j个指标值tj具有级别Ck的大小用属[1,2]性测度μxjk表示。按照属性集和属性测度理论μxk和μxjk应满足K_xk≥0,∑_xk=1(1)k=1K_xjk≥0,∑_xjk=1(2)k=1质量评价的属性数学模型要解决三个问题:由表1确定单指标属性测度μxjk,属性测度μxk,由μxk确定x属于哪一个级别。下面分别进行讨论。2.1单指标属性测度分析设x的

5、第j个指标值为t,我们要由表1确定单指标属性测度函数μxjk(t)。在表1中ajk满足aj0aj1>…>ajK。不仿假定aj0

6、bjk-ajk

7、,

8、bjk+1-ajk

9、),k=1,2,…,K-1(4)确定单指标属性测度函数μxjk(t)如下:1t

10、t-aj1-dj1

11、_xj1(t)=aj1-dj1≤t≤aj1+dj1(5)2dj10aj1+dj1

12、t-ajK-1+dj

13、K-1

14、_xjK(t)=ajK-1-djK-1≤t≤ajK-1+djK-1(6)2djK-10t

15、t-ajk-1+djk-1

16、ajk-1-djk-1≤t≤ajk-1+djk-12djk-1_xjk(t)=1ajk-1+djk-1

17、t-ajk-djk

18、ajk-djk≤t≤ajk+djk2djk0ajk+djk

19、常把μxjk(t)简记为μxjk。2.2多指标综合属性测度分析在质量评价中,每个指标所起的作用可能是不同的,因此,我们假定第j个指标Ij的权重为wj,wj满足mwj≥0,∑wj=1(8)j=1由指标权wj和单指标属性测度μxjk可得到多指标综合属性测度μxkm_xk=∑wj_xjk(9)j=1由(2),(8)和(9)可知,μxk满足(1)式。2.3属性识别分析属性识别分析的目的是由属性测度μxk,1≤k≤K,对x属于哪一个质量级别作出判断。这就需要给出一个判断准则。我们将给出置信度准则。在质量评价问题中,评价集(C1,C2,…,CK)通

20、常是一个有序集。例如,在产品质量评价中,评价集可取为(C1,C2,C3),其中C1={优},C2={中},C3={劣}。我们认为“优”比“中”好或强,记为C1>C2。显然有C2>C3。如果取C1={劣},C