上海市中考数学24题汇集[1]

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1、例2011年上海市奉贤区中考模拟第24题已知：在直角坐标系xOy中，将直线y＝kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B(－3，0)及y轴上的C点．若抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且经过点C．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．思路点拨1．准确描出点A、B、C、D的位置，标注确定的角度和能够求出的线段的长．2．探求∠APD＝∠ACB，设法构造直角三角形，把这两个角置于直角三角形之中．3．注意点P存在两种情况，两个点关于x轴对称．满分解答（1）直线线y＝k

2、x向下平移3个单位与y轴的交点C的坐标为(0，－3)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，代入点B(－3，0)，C(0，－3)，解得k＝－1．因此直线BC的解析式为y＝－x－3．因为抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－3，0)，C(0，－3)，所以解得因此抛物线的解析式为y＝－x2－4x－3．（2）如图1，如图2，由y＝－x2－4x－3＝－(x＋3)(x＋1)＝－(x＋2)2＋1，得顶点D的坐标为(－2，1)，点A的坐标为(－1，0)．在Rt△OBC中，OB＝OC＝3，所以∠OBC＝45°，．过点A作AE⊥BC于点E，那么△ABE是等腰直角三角形．所以，．因此．设抛物线的对

3、称轴与x轴交于点F，那么．当∠APD＝∠ACB时，．所以PF＝2AF＝2．因此点P的坐标为(－2，2)或(－2，－2)．图1图2考点伸展在解答第（2）题时，马虎同学把条件“∠APD＝∠ACB”错误地看作“∠ADP＝∠ACB”，然后他的解题思路如下：如图3，因为AD//BC，∠ADP＝∠ACB，根据两直线平行，同位角相等，因此在点D上方符合条件的点P在直线AC上，这样得到点P的坐标为(－2，3)．马虎认为，点D下方符合条件的点P′与点P关于点D中心对称，这样得到点P′的坐标为(－2，－1)．如果条件真的是“∠ADP＝∠ACB”，你认为马虎的解题思路对吗？求点P1的思路是对的，

4、求点P2的思路是错的．图3例2011年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，2)和点(3，5)．（1）求该抛物线的表达式并写出顶点坐标；（2）点P为抛物线上一动点，如果直径为4的⊙P与y轴相切，求点P的坐标．图1思路点拨1．⊙P与y轴相切，圆心P到y轴的距离等于圆的半径，y轴两侧各有一个点P．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，2)和点(3，5)，所以解得因此抛物线的表达式为y＝x2－2x＋2．顶点坐标为（1，1）．（2）如果⊙P与y轴相切，那么圆心P到y轴的距离等于圆的半径．已知圆的直径为4，所以圆心

5、P到y轴的距离等于2．因此点P的横坐标为2或－2．如图2，当x＝2时，y＝x2－2x＋2＝2，此时点P的坐标为（2，2）．如图3，当x＝－2时，y＝x2－2x＋2＝10，此时点P的坐标为（－2，10）．图2图3图4考点伸展1．如果第（2）题的条件改为“⊙P与坐标轴相切”，那么就要分为“⊙P与y轴相切”和“⊙P与x轴相切”两种情况．因为点P在x轴上方，当⊙P与x轴相切时，y＝2．解方程x2－2x＋2＝2，得x＝0或x＝2．所以点P的坐标为（0，2）（如图4）或（2，2）（如图3）．综合两种情况，与坐标轴相切的⊙P有三个．2．在本题情景下，我们再提出几个问题：如果⊙P在坐标轴上

6、截得的弦所对的弦心距相等，那么点P到x轴和y轴的距离相等，符合条件的圆心P有（1，1）（如图5）和（2，2）（如图3）．如图5中，弦AB所对的圆心角等于120°，那么⊙P在坐标轴上截得的弦所对的圆心角等于120°的⊙P有两个，还有一个如图6，P（－1，5）．如果⊙P在坐标轴上截得的弦所对的圆心角等于90°，那么点P有几个？点P到坐标轴的距离等于的点有4个，其中一个如图7．图5图6图7例2011年上海市金山区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求∠PAC的正

7、切值；（3）若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图1思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设交点式求抛物线的解析式比较简便．2．判断∠PCA等于90°是求∠PAC的正切值的关键．3．过△PAC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M．4．用平移的性质求点M的坐标很简便．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（－3，0）、B（1，0）两点，设抛物线为y＝a(x＋3)(x－1)，代入点C（0，3），可得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x＋