专题一2函数与图象

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1、二、函数的图像及其性质知识要点1．函数与映射对应法则f（1）映射：集合A（A中任意x）集合B（B中唯一的y）（2）函数：函数实质上是从A到B的一个特殊的映射，其特殊性在于A、B是非空的数集，自变量的取值集合A叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域。（应注意：值域C不一定等于B，而只能说）①函数的表示方法：表示函数的方法有解析法、列表法、图像法三种；求函数的解析式的基本方法：代入法、拼凑法、待定系数法、换元法、方程组法；函数的图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。②定义域的求法：当函数y

2、=f(x)用解析式给出的，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合;当函数y=f(x)用列表法给出的，函数的定义域是指表格中函数x的集合；当函数y=f(x)用图像法给出的，函数的定义域是指图像在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合当函数y=f(x)用有实际问题给出的，函数的定义域是有实际问题的意义确定。③求函数值域的常用方法：观察法、配方法、图像法、不等式法、换元法、单调性法、判别式法、最值法等。2．函数的性质<1>单调性：①定义：对于定义域内某一区间D内任意的X1,X2且X1

3、)在D上单调递增{f(x1)>f(x2)óf(x)在D上单调递减②函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数在区间是增函数，表现在图像上，图像是上升的；函数在区间上是减函数，表现在图像上，图像是下降的。③判断函数的单调性的常用方法：〈i〉定义法〈ii〉导数法〈iii〉两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数）；〈iv〉奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；奇函数f(x)

4、在x=0处有定义时，必有f(0)=0〈v〉如果y=f(µ)和µ=g(x)相同，那么y=f[g(x)]是增函数；如果y=f(u)和µ=g(x)单调性相反，那么y=f[g(x)]是减函数，即同“增”异“减”。〈2〉奇偶性①定义：对于定义域内的任意x（定义域关于原点对称）f(—x)=—f(x)óf(x)为奇函数{f(—x)=f(x)óf(x)为偶函数②判断分段函数的奇偶性，对x在各y区间上分别讨论，应注意有x的取值范围确定应用相应的函数表达式，最后要综合得出，在定义域内总有f(—x)=f(x)或f(—x)=—f(x)

5、。从而判定其奇偶性。③性质：函数y=f(x)是偶函数óf(x)的图像关于y轴对称函数y=f(x)是奇函数óf(x)的图像关于原点轴对称〈3〉周期性①周期函数f(x)的最小正周期T满足下列两种：〈i〉当x取定义域内的每一个值时，均有f(2+T)=f(x)〈ii〉T是不为零的最小正数一般的，若T为f(x)的周期，则nT(n∈Z)也是f(x)的周期，即f(x)=f(x+nT)②函数f(x)在定义域上满足f(x+T)=—f(x),则函数f(x)是周期函数，周期2T；函数f(x)是奇函数，且满足f(a-x)=f(a+x)

6、,a≠0，则f(x)是周期函数，周期为4a；函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)且,a≠0b≠0，a≠b,则f(x)是周期函数，周期为2（a—b）；函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)—f(x)，则函数f(x)是周期函数，周期为61．函数的图像（1）作函数图像的常用方法：〈i〉描点法〈ii〉变换法（2）常用的图像变化：〈i〉平移变换〈ii〉对称变换〈iii〉伸缩变换。（3）解决图形问题的常用方法是：定量计算法、定性分析法、函数模型法2．函数的零点（1）定义：对于函数y=f

7、(x)（x∈D），我们把是f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈)的零点（2）性质：〈i〉对二次函数而言：①二次函数的图像是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值改变符号②在相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号。〈ii〉如果函数y=f(x)在区间[a、b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a、b）内有零点，既存在c∈（a、b）,使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根〈ii〉通过寻找连续函数的零点，结合零点出的性子可作出函数的草图

8、范例解析例1．已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为-5（1）证明：f(1)+f(4)=0;（2）试求y=f(x)，x∈[1，4]的解析式；（3）试求y=f(x)在[4，9]上的解析式。[点拨]（1）利用周期性把f(4)转化