机械振动第二章习题

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1、第二章单自由度系统强迫振动工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止实际上又存在有大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，有的承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。一.单自由度系统的无阻尼受迫振动交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统；弹性梁上的电动机由于转子偏心在转动时引起的振动等。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力：H：激振力力幅；ω：激振力的圆频率；φ：激振力初相位设F为简谐激振力，F在坐标轴上的投影写成：1.振动微分方程图示振动系统，物块质量为m。取物块的平衡位

2、置为坐标原点，坐标轴铅直向下.恢复力Fk在坐标轴上的投影为两端除以m，并设：物块受力有恢复力Fk和激振力F。质点的运动微分方程为则得：该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程解由两部分组成：齐次方程的通解为:将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：b为待定常数设特解为：得无阻尼受迫振动微分方程的全解：解得：表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。实际振动系统存在阻尼，自由振动部分总会逐渐衰减下去，因而我们着重研究第二部分受

3、迫振动，它是一种稳态的振动。2.受迫振动的振幅在简谐激振的条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动起始条件无关，与振动系统的固有频率ωn激振力的力幅H、激振力频率ω有关。(1)若ω→0，此时激振力的周期趋近于无穷大，激振力为一恒力，并不振动，所谓的b0振幅实为静力H作用下的静变形。下面讨论受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系(2)若0<ω<ωnω值越大，振幅b越大，即振幅b随着频率ω单调上升，当ω接近ωn时，振幅将趋于无穷大。由式(3)若ω>ωn按式b为负值。习惯上把振幅都取为正值，因而取其绝对

4、值，而视受迫振动与激振力反向，相位应加（或减）1800。随着激振力频率ω增大，振幅b减小。当ω趋于∞，振幅b减小趋于零。将纵轴取为β=b/b0，横轴取为λ=ω/ωn，β和λ都是无量纲的量，绘出无量纲的振幅频率曲线。振幅b与激振力频率ω之间的关系绘出曲线表示。该曲线称为振幅频率曲线上述分析，当ω=ωn时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅b在理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。此时特解应设为：(3)共振现象当ω=ωn时是没有意义的无阻尼受迫振动微分方程得：它的幅值为：共振时受迫振动的运动规律为:实际上，由于系统存在阻尼，共振时

5、振幅不可能达到无限大，一般来说，共振时的振幅都是相当大，往往使机器产生过大的变形，甚至造成破坏。因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。当ω=ωn时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限地增大，其运动图线如图示。例.图示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支另一端A水平悬挂在刚度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球。若在点A加一激振力F=F0sinωt,其中激振力的频率ω=1/2ωn,ωn为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。解：设任一瞬时刚杆摆角为φ，根据刚体转动微分方程可以建立系统的运动微分方程。令微

6、分方程整理为：将ω=1/2ωn代入上式解得：研究受迫振动方程特解例.图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。解：1)取电机与偏心块质点系为研究对象设电机轴心在瞬时t相对其平衡位置O的坐标为x，2）作用力：在系统上的恢复力:3)质点系动量定量的微分形式则偏心块坐标为：x+esinωt。此微分方程为质点受迫振动，激振力项m2eω2sinωt即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影。激振力力幅为m2eω2

7、等于离心惯性力的大小激振力的圆频率等于转子的角速度ω。这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。整理后得：当ω>ωn时，振幅随着增大而减小，最后趋于m2e/(m1+m2)。此曲线当ω<ωn时，振幅从零开始，随着频率增大而增大；令：绘出振幅频率曲线。当ω=ωn时，振幅趋于∞；受迫振动振幅：例.图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为k。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为s=esinωt，求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。解：1）取测振仪为研究对象测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点

8、的运动规律就是s=esinωt。2）位移分析取t=0时物块的平衡位置为坐标原点O，取x轴如图。如弹簧原长为l0，δst为其静伸长。设任一时刻t时，物块的坐标为x，弹簧的变形量为3）物块运动的微分方程：整理为：可见物块的运动微分方程为无阻尼受迫振动的