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《关于复模态理论的数学方法_物理概念及其与实模态理论的统一性_李德葆》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、清华大学学报第卷第期卜之N关于复模忐理论的数学方法、物理概念及其与实模态理论的统一性工程力孚系季德葆摘要本文系统地论述了振动结构参数识别的复模态理论的基本数学方法状态向很法、,—及拉氏变换法的特点基本推演过程及基本公式并论证了这两种方法的一致性;解释了复模态模型的物理意义.说a;.明了域传递函数与频域传递函数的图象关系用图解法形象地说明了复振型所反映的振动图象.最后,根据复模态座论推演了转化为实模态情,,况的条件并从而导得了实模态模烈的所有模态参数公式论证了复模态理论与实模态理论的统一性。,,.。:关扭词振动模态参数实模态理论复橙杰理论
2、己1.考一、1les」砂,目,振动结构的模态分析的在于建立一种数学模型模态模型即用若干所谓模,。—,态参数来描述一个实际结构的动态特性它设法把一个复杂的多自由度振动问题分。解为一系列的单自由度系统(各阶模态模型)的振动的线性叠加在比例阻尼的条件,,,下采用主座标转换法使原来相互辆合的微分方程解祸化为一组可以各自独立求解,的方程每一个独立方程便可视为一个模态模型单元系统(即以模态座标来描述其特性)。,的单度系统由于在这里采用主振型矩阵来作为座标转换矩阵而每一个主振型模态,。都可以用一个实数列阵来表达因而这种分析方法称为实模态方法,在一般非
3、比例阻尼条件下上述采用主模态振型矩阵作为座标转换矩阵来进行座标,,转换的方法不能使阻尼阵对角化因而不能达到使振动微分方程解祸的目的必须另寻出路。,,按照实模态方法的传统习惯首先想到的仍是要设法进行座标转换这就是采用状态。,。向量法在这一方法中座标转换矩阵己不再是实阵而是复阵该矩阵的每一列为一个,,,特征状态向量反映某一阶振动模态但该列向量的各元素均为复量因而就将这种分本文于1984年8月收到、物理概念及其与实模态理论的统一性关于复模态理论的数学方法。析方法称为复模态方祛。,另一种方法采用拉普拉斯变换这已不同于座标变换而是将问题变换到复域
4、(或s。,称域)中来寻求问题的解答由于这一方法可以得到与前法所得到的一样的结果这。种方法也归为复模态分析法如果把系统的特征向量(或特征振型)的表达形式作为分,。析方法分类的依据将拉氏变换法归为复模态分析也是可以的,,。本文将上述两种方法作了比较统一了它们的结果并解释了有关参数的物理意义,比例阻尼可视为一般4卜比例阻尼的特殊情况因而实模态分析方法应当是复模态分,。,析方法的一种特例它们之间是统一的并且应当由复模态理论来规定转化为实模态,。。情况的条件并由此导得实模态的一切公式这也是写作本文的目的之一二、数学方法1.状态向里法,采用振动理论
5、中惯用的符号可将具有非比例粘性阻尼的结构振动方程写成矛矛叮、EM〕{公+[云+x=t)、二,自0、声、了}C〕王}〔K〕{}通f(}引人一个辅助方程〔M」{分}一〔M〕{忿}={0}(、2)1)(合并并令、护J.`.之j扭rt、,、J.,1I劣戈.嘴`r」产1y一(3)可得下列一阶微分方程组’[A〕{夕}+[B习{夕}={f(4)式中之.、1r[C」〔M〕If【K〕〔0〕介0}=}〔B〕=l〔A〕’f一(5)仁M〕〔0〕」L〔0〕一〔M〕,、。用(3)式表达的{夕}称为状态向量〔A〕〔B〕为实对称矩阵,,。为了使(4)式解祸采用座标转换
6、法应寻找转换矩阵处理过程与实模态时完。全一样’,令{f}二。(4)式即化为自由振动方程在(4)式中〔刁〕{夕}+[B〕笼夕}={o}(6),按照一阶常微分方程的常规解法令少二。p`a{}{必}(3)代入(6)式即得〔B〕{协}=一P〔A〕{功}(7a)B〕正定,一’,由于〔〔B〕存在上式亦可化为[尸〕笼必}=生{价}(7b)P幼清华天学学报〔·〕,一〔。〕一〔,〕二一〔K〕一’[C]一[K〕一几[M〕`![I][0〕。〔R〕为ZN阶(N为系统的自由度数)非对称实阵因此由(7b)可得到其特征催矩阵及特征向量矩阵分别为[才〕(9)=::*:
7、:*万二*[们〔{功}{栖}王价卜{功卜州协}{砂}](10),显然应有=一[B〕〔价〕[A兀价」[才〕(11)(a考虑到3)及(3)若设劣=ep`{}笼砂}(12)毖=ep`则{}P通砂}因此〔必〕可表为〔=〔〕们a【淤玉」(10)[砂〕二[{吵:}{吵:*::*二二**}玉吵}{价卜王吵}毛砂}〕(13),。、、,、{吵}与{x}相联系故称〔吵〕为模态振型矩阵{咨}笼再}P均为复量,笼砂产}、P产则为其共扼量。,*体产}P及.P采用以下表达式,二一a,+v,r*=一。,一v,PjPj(14).,。,采用与实模态情况时一样的方法可以证
8、明各特征向量之间的加权正交特性即P,。,当钾P时,Ta=,,a={价}〔A〕{价}o{功}[B〕{价}o(25)r二s,当时则令一,[一二a,,,a=,{功}A〕{协}{砂}[B〕{功}b(16),(15)
