A班A卷参考答案与评分标准2009.11.11

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1、序号北方工业大学《高等数学Ⅰ（1）》课程(第二模块)考试卷（A班）A卷2009年秋季学期订线装开课学院：理学院考试方式：闭卷考试时间：50分钟分层班级班级姓名学号题号一二三四总分123412得分一．选择题（每小题4分,共20分）将所选答案填在方括号内1．设曲线在点处有铅直的切线，则函数在处［　B　］（A）可导；　（B）不可导；　（C）可导性不确定；　（D）导数为．2．设是可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［　B　］（A）；（B）；（C）；（D）．3．设

2、，则使存在的最高阶数［　C　］（A）0；　　　　（B）1；　　　　（C）2；　　　　（D）3．4．函数在的某个邻域上可以进行关于的阶皮亚诺型余项的泰勒多项式展开的条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［　A　］（A）在点阶可导；　　　　（B）在点阶可导；（C）在这个邻域上阶可导；（D）在这个邻域上阶可导．5．设满足，且，则在点处　［　B　］（A）点是拐点；（B）取得极大值；（C）取得极小值；（D）没有极值．二．填空题（每小题4分,共20分）1．设，二阶可导，则，．2．设，则．北方工业大学试卷第

3、4页共4页3．曲线在点处的切线方程为，曲率为．4．设由参数方程所确定，则，．5．极限．三．计算题（每小题10分,共40分）1．求．解：所求极限……………………………………………….…………….…….…..4分…………………………………………….7分………….………………………….………....10分2．利用泰勒公式求．解：由，有，得．再由，得．…………………………………………………………....…..4分由及，得．….……….…..8分所求极限．…….………………………….………..10分3．求函数曲线的

4、凹凸区间、拐点及渐近线．解：函数的定义域为．，的零点为．在、上连续，且在、上，在上，此函数曲线在、上是凸的，在上是凹的；拐点为．…….……….8分北方工业大学试卷第4页共4页由（，）可知，函数曲线有铅直渐近线；由可知，函数曲线无水平渐近线；由，可知，函数曲线无水斜渐近线．…………………………………………………………………………….…………..10分4．在曲线段上求一点，使得由曲线在点的切线与直线、所围成的三角形的面积最大.解：设所求点，则点处的切线方程为，……………….…………..2分该切线与直线、的交点

5、分别为、，所围三角形的面积为．…………….…….……..………..6分由，令，得(不合题意,舍去)或，所求点为...10分四．证明题（每小题10分,共20分）1．设在上连续、在内可导．试证：，．证：与在上连续、在内可导，且在内恒有，根据柯西中值定理可知，，，即．证毕．…..10分2．设，且．试证：．证法1：利用Taylor公式．由存在知．再由，得，．……………….4分由Taylor公式，有，……..…....8分，即得．证毕．…………………………………………….……….……..10分证法2：利用Taylo

6、r公式．由存在知．再由，得，．……………….4分北方工业大学试卷第4页共4页记，有，，，由Taylor公式，有，………………..….…....8分，即得．证毕．…………………………………………….……………..10分证法3：利用Lagrange中值定理．由存在知．再由，得，．……………….4分记，有，，，……………………..6分由Lagrange中值定理，有………………………...………….…….…….……......7分……………………….……….……………..….………….....8分，……….………

7、………………….....9分其中，即得．证毕．…………………………….…………….……………..10分证法4：（用最小值法：证明在上的最小值）由存在知．再由，得，．……………….4分记，有，，，……………………..7分由此知是的唯一的零点和极小值点．故极值点为最小值．……………….……....9分．．证毕．……………………………………….…………….……….…..10分北方工业大学试卷第4页共4页