3-1-1 应力状态分析

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1、第13章应力分析stressanalysis本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为本章重点：点的应力状态分析应力stress：单位面积上的内力。材料力学方法：切面法，将物体切开,利用内力外力平衡条件求切面上的应力分布。塑性力学方法：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。满足条件：连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。可列方程：平衡微分方程（平衡，3个），几何方程（连续均质，6个），21物理方程（应力应变关系，6个）屈服准则（1个）（共16个）变量（共18个）：坐标x,y,z,位移u

2、,v,w,应力6个，应变6个。力的类型有面力：作用力，反作用力，摩擦力体积力：重力，磁力，惯性力——高速成形不能忽略13．1应力状态分析目标：任意一点的应力状态stressstate——整个变形体的应力状态13．1．1应力分析截面法外力outsideforces——产生内力应力：正应力（stress）σ，切应力（shearstress）τ要点：截开物体后，内力变外力。2113．1．1．1单向拉伸uniaxialtensile应力分析C1面上全应力：S=F/A=F/(A0/cosθ)=σ0cosθ正应力：σ=Scosθ=σ0cos2θ切应力：τ=Ssinθ=σ0cosθsin21θ

3、结论：任意方向都可由σ0和θ确定其全应力S，正应力σ，切应力τ，即：单向拉伸只需σ0即可确定任意面的应力状态。13．1．1．2两向应力状态设任意斜面AB（夹角θ）上的全应力S，S可以分解为正应力σ，切应力τ由于静力平衡即有：21解得：13．1．2应力分析单元体法变形体多向受力，用截面法不全面，需改进——单元体法！21设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得九个应力分量stresscomponents，可写为矩阵：作用面作用方向21注意：应力是张量tensor（标量，矢量，张量）张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合正负号：正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负

4、号。单元体平衡有：τxy=τyxτxz=τzxτyz=τzy因此σij=是对称张量当同一单元取不同坐标系时，各应力值会不一样，但是点的应力状态未改变。圆柱坐标——柱坐标应力张量球坐标——球坐标应力张量2113．1．3任意斜面上的应力stressontheobliqueplane已知应力状态σij=，求斜面ABC上的应力（全应力S，正应力σ，切应力τ）,设斜面ABC的法线方向余弦为l,m,n即：l=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z)21解：将全应力沿坐标方向分解为：SxSySz由静力平衡forceequilibriumSxdA-σxdAx-τyxdAy-τzx

5、dAz=0而dAx=ldAdAy=mdAdAz=ndA所以Sx=σxl+τyxm+τzxn同理Sy=τxyl+σym+τzyn21Sz=τxzl+τyzm+σzn因此S2=Sx2+Sy2+Sz2σ=Sxl+Sym+Szn=σxl2+σym2+σxn2+2(τxylm+τyzmn+τxzln)τ2=S2-σ2习题：13章1、71、什么叫张量？张量有什么性质？7、已知受力物体内一点的应力张量为Mpa，求外法线方向余弦为的斜切面上的全应力、正应力和切应力。2113．1．4主应力与应力不变量stressinvariants主平面principalplane——切应力为0的平面。主应力pr

6、incipalstress——主平面上的正应力。应力主轴（主方向）——主平面的法线方向。也就是将变换为，即将实对称阵变为对角阵。13．1．4．1任意坐标系设ABC为主平面，在主平面上有τ=0由于τ2=S2-σ2即可得S=σ所以Sx=Sl=σlSy=σmSz=σn因此有：(σx-σ)l+τyxm+τzxn=021τxyl+(σy-σ)m+τzyn=0τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0而：l2+m2+n2=1此为隐含条件所以有：此式即展开整理为：σ3-J1σ2-J2σ-J3=0*****其中：J1=σx+σy+σz可以求出三个实根σ1σ2σ3分别代入前式可求出三个主方向：l1m1

7、n1l2m2n212l3m3n3注意：应力状态确定——主应力唯一，即方程*****唯一,也即J1J2J3为不变值，分别为应力张量的第一不变量J1第二不变量J2第三不变量J3应力不变量stressinvariants13．1．4．2主轴坐标系若以主应力（σ1σ2σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴为1，2，3方向轴。此时，在此坐标系下的任意斜面（l,m,n）上有：S1=σ1lS2=σ2mS3=σ3n以及：S2=σ12l2+σ22m2+σ32n2σ=σ1l2+σ2m2+σ3n2τ2